Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意得c=1，-

b

2a

=-1，b²-4ac=0，由此能求出f（x）．
（Ⅱ）F（x）=x²+（2-k）x+1，對稱軸為x=

k-2

2

，圖象開口向上當

k-2

2

≤-2時，F(xiàn)（x）在[-2，2]上單調遞增，此時函數F（x）的最小值g（k）=F（-2）=2k+1，當-2＜

k-2

2

≤2時，F(xiàn)（x）在[-2，

k-2

2

]上遞減，在[

k-2

2

，2]上遞增此時函數F（x）的最小值g(k)=F(

k-2

2

)=-

k_-4k

4

；當

k-2

2

＞2即k＞6時，F(xiàn)（x）在[-2，2]上單調遞減，此時函數F（x）的最小值g（k）=F（2）=9-2k．由此能求出結果．

解答：解：（Ⅰ）∵二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），
且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
∴c=1，-

b

2a

=-1，b²-4ac=0
解得a=1，b=2，c=1，
從而f（x）=x²+2x+1；
（Ⅱ）F（x）=x²+（2-k）x+1，對稱軸為x=

k-2

2

，圖象開口向上
當

k-2

2

≤-2即k≤-2時，F(xiàn)（x）在[-2，2]上單調遞增，
此時函數F（x）的最小值g（k）=F（-2）=2k+1
當-2＜

k-2

2

≤2即-2＜k≤6時，F(xiàn)（x）在[-2，

k-2

2

]上遞減，在[

k-2

2

，2]上遞增
此時函數F（x）的最小值g(k)=F(

k-2

2

)=-

k2-4k

4

；
當

k-2

2

＞2即k＞6時，F(xiàn)（x）在[-2，2]上單調遞減，
此時函數F（x）的最小值g（k）=F（2）=9-2k；
綜上，函數F（x）的最小值g（k）=

2k+1，k≤-2 - k2-4k 4 ，-2＜k≤6 9-2k，k＞6

．

點評：本題考查二次函數的性質和綜合運用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．