Question

已知函數y=f(x)的定義域為R，對任意不相等的實數x₁,x₂，都有|f(x₁)-f(x₂)|＜|x₁-x₂|，且f(p)=p(p為常數)，又在數列{a_n}中，a₁＜p,f(a_n)+a_n=2a_n+1,求證：

（1）a_n＜p;

(2)a_n+1＞a_n.

Answer 1

思路分析:用數學歸納法證明從“n=k到n=k+1”時，關鍵是“一湊假設，二湊結論”.

證明:很明顯,n=1時，a₁＜p成立.

假設n=k時，a_k＜p成立，

則當n=k+1時，由|f(p)-f(a_k)|＜|p-a_k|及f(p)=p,

可得|p-f(a_k)|＜|p-a_k|,

又a_k＜p,

故|p-f(a_k)|＜p-a_ka_k-p＜p-f(a_k)＜p-a_k

注意到已知條件f(a_k)+a_k=2a_k+1,

將其變形為f(a_k)=2a_k+1-a_k,

代入①式得a_k+1＜p;

代入②式得a_k+1＞a_k.

這樣命題(1)、（2）獲證.