Question

給出如下命題：
命題p：已知函數(shù)y=f(x)=

1-x

3

，則|f（a）|＜2（其中f（a）表示函數(shù)y=f（x）在x=a時(shí)的函數(shù)值）；
命題q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=∅；
求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使命題p，q中有且只有一個(gè)為真命題．

Answer 1

分析：分別對(duì)命題p和命題q進(jìn)行化簡(jiǎn)：根據(jù)含有絕對(duì)值的不等式的解法，化簡(jiǎn)得到命題p：-5＜a＜7，討論一元二次方程根的分布，化簡(jiǎn)得命題q：a＞-4．再根據(jù)條件p，q中有且只有一個(gè)為真命題，列出不等式組，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：對(duì)于p，|f（a）|＜2即|

1-a

3

| ＜2
∴-2＜

1-a

3

＜2⇒-5＜a＜7
即命題p：-5＜a＜7
對(duì)于q，方程x²+（a+2）x+1=0在（0，+∞）上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，
①△=（a+2）²-4＜0時(shí)，顯然q成立
解之得：-4＜a＜0；
②△≥0時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，沒(méi)有正數(shù)根時(shí)q成立
∴

a≤-4或a≥0 x1+x2= -(a+2)＜0 x1•x2=1＞0

⇒a≥0
綜上所述，命題q：a＞-4
∵命題p，q中有且只有一個(gè)為真命題
∴

-5＜a＜7 a≤-4

或

a≤-5或a≥7 a＞-4

成立
解之得-5＜a≤-4或a≥7

點(diǎn)評(píng)：本題以含絕對(duì)值的不等式的解法和一元二次方程根分布為例，考查了命題真假的判斷，屬于中檔題．