題目列表(包括答案和解析)
如圖，已知四棱錐
的底面是正方形，
⊥底面
，且
，點(diǎn)
、
分別在側(cè)棱
、
上，且
（Ⅰ）求證：
⊥平面
；
（Ⅱ）若
，求平面
與平面
的所成銳二面角的大小
已知四棱錐
的底面為正方形且側(cè)棱長與底面邊長相等，
是
的中點(diǎn)，則
所成的角的余弦值為______
如圖，已知四棱錐
的底面是正方形，
，且
，點(diǎn)
分別在側(cè)棱
、
上，且
。
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）若
，求平面
與平面
所成二面角的余弦值．
如圖，已知四棱錐
的底面是正方形，
⊥底面
，且
，點(diǎn)
、
分別為側(cè)棱
、
的中點(diǎn)
（1）求證：
∥平面
；
（2）求證：
⊥平面
.
如圖，已知四棱錐
的底面是正方形，
，且
，點(diǎn)
分別在側(cè)棱
、
上，且
。
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）若
，求平面
與平面
所成二面角的余弦值．
一、
1．C 2．C 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C 8．A 9．D 10．C
11．B 12．B
【解析】
11．提示：設(shè)曲線
在點(diǎn)
處切線傾斜角為
，則
，由
，得
，故
，所以
，故選B．
12．提示：整形結(jié)合．
二、
13．
14．
15．3 16．①③
三、
17．解：（1）
的單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）
18．（1）設(shè)乙、丙各自回答對(duì)的概率分別是
、
，根據(jù)題意得：
，解得
（2）
．
19．解：（1）
的解集有且只有一個(gè)元素
或
又由
得
當(dāng)
時(shí)，
；
當(dāng)
時(shí)，
（2）
①
②
由式①-或②得
．
20．解法一：
（1）設(shè)
交
于點(diǎn)
平面
．
作
于點(diǎn)
，連接
，則由三垂線定理知：
是二面角
的平面角．
由已知得
，
，
∴二面角的大小的60°．
（2）當(dāng)
是
中點(diǎn)時(shí)，有
平面
．
證明：取
的中點(diǎn)
，連接
、
，則
，
，故平面即平面
．
又
平面，
平面．
解法二：由已知條件，以
為原點(diǎn)，以
、
、
為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標(biāo)系，則
（1）
，
，設(shè)平面的一個(gè)法向量為
，
則
取
設(shè)平面
的一個(gè)法向量為
，則
取
．
二面角的大小為60°．
（2）令
，則
，
，
由已知，
，要使平面，只需
，即
則有
，得
當(dāng)是中點(diǎn)時(shí)，有平面．
21．解：（1）① 當(dāng)直線
垂直于軸時(shí)，則此時(shí)直線方程為
，
與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為
和
，其距離為
，滿足題意．
② 若直線不垂直于軸，設(shè)其方程
，即
設(shè)圓心到此直線的距離為
，則
，得
，
此時(shí)所求直線方程為
綜上所述，所求直線為或．
（2）設(shè)點(diǎn)
的坐標(biāo)為
點(diǎn)坐標(biāo)為
，則
點(diǎn)坐標(biāo)是
即
又
由已知，直線
軸，所以，
，
點(diǎn)的軌跡議程是
，
軌跡是焦點(diǎn)坐標(biāo)為
，長軸為8的橢圓，并去掉
兩點(diǎn)．
22．解：
，
（1）由題意：
解得
．
（2）方程
的叛別式
，
① 當(dāng)
，即
時(shí)，
，
在
內(nèi)恒成立，此時(shí)
在為增函數(shù)；
② 當(dāng)
，即
或
時(shí)，
要使在內(nèi)為增函數(shù)，只需在內(nèi)有即可，
設(shè)
，
由
得，所以．
由①②可知，若在內(nèi)為增函數(shù)，則
的取值范圍是
．
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