題目列表(包括答案和解析)
如圖，已知四棱錐
的底面是正方形，
⊥底面
，且
，點
、
分別在側棱
、
上，且
（Ⅰ）求證：
⊥平面
；
（Ⅱ）若
，求平面
與平面
的所成銳二面角的大小
已知四棱錐
的底面為正方形且側棱長與底面邊長相等，
是
的中點，則
所成的角的余弦值為______
如圖，已知四棱錐
的底面是正方形，
，且
，點
分別在側棱
、
上，且
。
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）若
，求平面
與平面
所成二面角的余弦值．
如圖，已知四棱錐
的底面是正方形，
⊥底面
，且
，點
、
分別為側棱
、
的中點
（1）求證：
∥平面
；
（2）求證：
⊥平面
.
如圖，已知四棱錐
的底面是正方形，
，且
，點
分別在側棱
、
上，且
。
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）若
，求平面
與平面
所成二面角的余弦值．
一、
1．C 2．D 3．B 4．D 5．D 6．B 7．D 8．A 9．A 10．C
11．D 12．A
1～11．略
12．解：
，
在
是減函數，由
，得
，
，故選A．
二、
13．0．8 14．
15．
16．①③
三、
17．解：（1）
的單調遞增區間為
（2）
18．解：（1）當
時，有
種坐法，
，即
，
或
舍去． 
（2）
的可能取值是0，2，3，4
又
的概率分布列為
0
2
3
4
則
．
19．解：（1）
時，
，
又
，
是一個以2為首項，8為公比的等比數列
（2）
最小正整數
．
20．解法一：
（1）設
交
于點
平面
．
作
于點
，連接
，則由三垂線定理知：
是二面角
的平面角．
由已知得
，
，
∴二面角的大小的60°．
（2）當
是
中點時，有
平面
．
證明：取
的中點
，連接
、
，則
，
，故平面即平面
．
又
平面，
平面．
解法二：由已知條件，以
為原點，以
、
、
為
軸、
軸、
軸建立空間直角坐標系，則
（1）
，
，設平面的一個法向量為
，
則
取
設平面
的一個法向量為
，則
取
．
二面角的大小為60°．
（2）令
，則
，
，
由已知，
，要使平面，只需
，即
則有
，得
當是中點時，有平面．
21．解：（1）由條件得
，所以橢圓方程是
．
（2）易知直線
斜率存在，令
由
由
，
即
得
，
即
得
將代入
有
22．解：（1）
在
上為減函數，
時，
恒成立，
即
恒成立，設
，則
時，
在（0，
）上遞減速，
．
（2）若
即有極大值又有極小值，則首先必需
有兩個不同正要
，
，
即
有兩個不同正根
令
∴當
時，有兩個不同正根
不妨設
，由
知，
時，
時，
時，
∴當時，既有極大值
又有極小值
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