在數列{a_n}和{b_n}中，a_n=aⁿ，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求數列{b_n}的前n項和；
（Ⅱ）證明：當時，數列{b_n}中的任意三項都不能構成等比數列；
（Ⅲ）設A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，試問在區間[1，a]上是否存在實數b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相應的集合C；若不存在，試說明理由．

在數列{a_n}和{b_n}中，a_n=aⁿ，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求數列{b_n}的前n項和；
（Ⅱ）證明：當時，數列{b_n}中的任意三項都不能構成等比數列；
（Ⅲ）設A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，試問在區間[1，a]上是否存在實數b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相應的集合C；若不存在，試說明理由．

在數列{a_n}和{b_n}中，a_n=aⁿ，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求數列{b_n}的前n項和；
（Ⅱ）證明：當時，數列{b_n}中的任意三項都不能構成等比數列；
（Ⅲ）設A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，試問在區間[1，a]上是否存在實數b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相應的集合C；若不存在，試說明理由．