Question

在數列{a_n}和{b_n}中，a_n=aⁿ，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．
（Ⅰ）若a₁=b₁，a₂＜b₂，求數列{b_n}的前n項和；
（Ⅱ）證明：當時，數列{b_n}中的任意三項都不能構成等比數列；
（Ⅲ）設A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，試問在區間[1，a]上是否存在實數b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相應的集合C；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由a₁=b₁，a₂＜b₂，結合已知可建立a，b的方程，從而可求a，b，進一步求出數列b_n的通項及前n項和
（II）結合（I）知，假設a_ma_na_t（m．n．t∈N₊）成等比數列，且m≠n≠t，由假設推導可得，結合m≠t≠n∈N₊的條件可知矛盾．
（III）設存在實數b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，若m∈C，則m∈A，且m∈B，
由m∈A可設m=a^{t，由m∈B可設m_o=（a+1）s+b}，整理可得分t為奇偶情況分別進行討論，若推出矛盾，則說明不存在，否則存在符合條件的實數b
解答：解：（Ⅰ）因為a₁=b₁，所以a=a+1+b，b=-1，（1分）
由a₂＜b₂，得a²-2a-1＜0，
所以，（3分）
因為a≥2且a∈N^*，所以a=2，（4分）
所以b_n=3n-1，{b_n}是等差數列，
所以數列{b_n}的前n項和．（5分）
（Ⅱ）由已知，假設，，成等比數列，其中m，n，t∈N^*，且彼此不等，
則，（6分）
所以，
所以，
若m+t-2n=0，則3n²-3mt=0，可得m=t，與m≠t矛盾；（7分）
若m+t-2n≠0，則m+t-2n為非零整數，為無理數，
所以3n²-3mt為無理數，與3n²-3mt是整數矛盾．（9分）
所以數列{b_n}中的任意三項都不能構成等比數列．
（Ⅲ）設存在實數b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，
設m∈C，則m∈A，且m∈B，
設m=a^t（t∈N^*），m=（a+1）s+b（s∈N^*），
則a^t=（a+1）s+b，所以，
因為a，t，s∈N^*，且a≥2，所以a^t-b能被a+1整除．（10分）
（1）當t=1時，因為b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，
所以；（11分）
（2）當t=2n（n∈N^*）時，a²ⁿ-b=[（a+1）-1]²ⁿ-b=（a+1）²ⁿ+-C_2n¹（a+1）+1-b，
由于b∈[1，a]，所以b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，當且僅當b=1時，a^t-b能被a+1整除．（12分）
（3）當t=2n+1（n∈N^*）時，a²ⁿ⁺¹-b=[（a+1）-1]²ⁿ⁺¹-b=（a+1）²ⁿ⁺¹++C_2n+1¹（a+1）-1-b，
由于b∈[1，a]，所以b+1∈[2，a+1]，
所以，當且僅當b+1=a+1，即b=a時，a^t-b能被a+1整除．（13分）
綜上，在區間[1，a]上存在實數b，使C=A∩B≠∅成立，且當b=1時，C={y|y=a²ⁿ，n∈N^*}；當b=a時，C={y|y=a²ⁿ⁺¹，n∈N}．
點評：本題綜合考查了數列的求和、等比數列的定義、數列與集合綜合，考查了考生的邏輯推理能力與分析問題、解決問題的能力．