Question

在數列{a_n}和{b_n}中，，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．設A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，試問在區間[1，a]上是否存在實數b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相應的集合C；若不存在，試說明理由．

Answer 1

解：設存在實數b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，
設m₀∈C，則m₀∈A，且m₀∈B，
設，，則a^t=（a+1）s+b，所以，
因為a，t，s∈N^*，且a≥2，所以a^t-b能被a+1整除． …（4分）
（1）當t=1時，因為b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，所以； …（5分）
（2）當t=2n（n∈N^*）時，，
由于b∈[1，a]，所以b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，當且僅當b=1時，a^t-b能被a+1整除．…（7分）
（3）當t=2n+1（n∈N^*）時，，
由于b∈[1，a]，所以b+1∈[2，a+1]，
所以，當且僅當b+1=a+1，即b=a時，a^t-b能被a+1整除．．…（9分）
綜上，在區間[1，a]上存在實數b，使C=A∩B≠∅成立，
當b=1時，C={y|y=a²ⁿ，n∈N^*}；
當b=a時，C={y|y=a²ⁿ⁺¹，n∈N^*}． …（10分）
分析：設存在實數b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，設m₀∈C，則m₀∈A，且m₀∈B，利用數列的通項，可得a^t=（a+1）s+b，從而可得，根據a，t，s∈N^*，且a≥2，可得a^t-b能被a+1整除，再分類討論，即可求得結論．
點評：本題考查演繹推理，考查數列知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．