題目列表(包括答案和解析)
如圖，在長方體
中，
，
，點E在棱AB上移動，小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點
，所爬的最短路程為
。
（1）求證：
；
（2）求AB的長度；
（3）在線段AB上是否存在點E，使得二面角
的大小為
？若存在，確定點E的位置；若不存在，請說明理由。
在直角梯形PBCD中，
，A為PD的中點，如下左圖。將
沿AB折到
的位置，使
，點E在SD上，且
，如下右圖。
（1）求證：
平面ABCD；
（2）求二面角E—AC—D的余弦值；
（3）在線段BC上是否存在點F，使SF//平面EAC？若存在，確定F的位置， 若不存在，請說明理由。
在三棱錐A－BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD＝
，BD＝CD＝1，另一個側面是正三角形
（1） 求證：AD^BC
（2） 求二面角B－AC－D的大小
（3） 在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。
，BD=CD=1，另一個側面是正三角形。
一、選擇題（每小題5分，共40分）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
C
D
C
A
B
D
二、填空題（每小題5分，共30分）
9.84； 10.
； 11.45； 12. -6； 13.
； 14.
； 15.3
三、解答題（共80分．解答題應寫出推理、演算步驟）
16. 解：（1）
則
的最小正周期
， ……………………………4分
且當
時單調遞增．
即
為的單調遞增區間（寫成開區間不
扣分）．…………6分
（2）當
時
，
當
，即
時
．
所以
． ……………9分
為的對稱軸． ……12分
17. 解：（1）依題意，
的可能取值為1，0，-1
………1分
的分布列為
…4分
1
0
p
=
=…………6分
（2）設
表示10萬元投資乙項目的收益，則的分布列為……8分
2
…………10分
依題意要求
… 11分
∴
………12分
注：只寫出
扣1分
18. 解：（1）①當直線
垂直于
軸時，則此時直線方程為
，與圓的兩個交點坐標為
和
，其距離為
滿足題意 ………1分
②若直線不垂直于軸，設其方程為
，即
設圓心到此直線的距離為
，則
，得
…………3分
∴
，
，
故所求直線方程為
綜上所述，所求直線為或 …………7分
（2）設點
的坐標為
（
），
點坐標為
則
點坐標是
…………9分
∵
，
∴
即
，
…………11分
又∵
，∴
∴點的軌跡方程是
，
…………13分
軌跡是一個焦點在軸上的橢圓，除去短軸端點。 …………14分
19.解一：（1）證明：連結AD1，由長方體的性質可知：
AE⊥平面AD1，∴AD1是ED1在
平面AD1內的射影。又∵AD=AA1=1，
∴AD1⊥A1D
∴D1E⊥A1D1（三垂線定理） 4分
（2）設AB=x，∵四邊形ADD1A是正方形，
∴小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到
點C1可能有兩種途徑，如圖甲的最短路程為
如圖乙的最短路程為
………………9分
（3）假設存在，平面DEC的法向量
，
設平面D1EC的法向量
，則
…………………12分
由題意得：
解得：
（舍去）
………14分
20. 解：（1）當
.…（1分）
……（3分）
∴
的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為：
，
.
……（4分）
（2）切線的斜率為
，
∴ 切線方程為
.……（6分）
所求封閉圖形面積為
.
……（8分）
（3）
， ……（9分）
令
.
……（10分）
列表如下：
x
(－∞，0)
0
（0，2－a）
2－a
(2－a，+ ∞)
－
0
+
0
－
ㄋ
極小
ㄊ
極大
ㄋ
由表可知，
.
……（12分）
設
，
∴
上是增函數，……（13分）
∴
，即
，
∴不存在實數a，使極大值為3.
……（14）
21.解：（1）由
而
解得A=1……………………………………2分
（2）令
當n=1時，a1=S1=2,當n≥2時，an=Sn－Sn-1=n2+n
綜合之：an=2n…………………………………………6分
由題意
∴數列{cn+1}是為公比，以
為首項的等比數列。
………………………9分
（3）當
………………………11分
當
………13分
綜合之：
………14分
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