Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖如圖所示，且D是BC的中點，
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值；
（Ⅲ）試問線段A₁B₁上是否存在點E，使AE與DC₁成60°角？若存在，確定E點位置，若不存在，說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明：根據三視圖知：三棱柱是直三棱柱， ，， 連結，交于點O，連結OD， 由是直三棱柱， 得四邊形為矩形， O為A1C的中點， 又D為BC中點， 所以OD為中位線， 所以∥OD，              因為平面，平面， 所以∥平面。
（Ⅱ）解：由是直三棱柱， 且， 故兩兩垂直， 如圖建立空間直角坐標系B-xyz ，       ∵BA=2， 則， 所以，， 設平面的法向量為， 則有所以， 取y=1，得， 易知平面ADC的法向量為， 由二面角是銳角， 得， 所以二面角的余弦值為。 （Ⅲ）解：假設存在滿足條件的點E， 因為E 在線段上，，， 故可設，其中， 所以，， 因為與成60°角， 所以，即， 解得λ=1，舍去λ=3， 所以當點E為線段中點時，AE與DC1成60°角。