Question

如圖，在三棱錐A-BCD中，側面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD=，BD=CD=1，另一個側面是正三角形。

（1）求證：AD⊥BC；
（2）求二面角B-AC-D的大小；
（3）在直線AC上是否存在一點E，使ED與面BCD成30°角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）作AH⊥面BCD于H，連DH AB⊥BDHB⊥BD， 又AD=，BD=1 ∴AB==BC=AC ∴BD⊥DC 又BD=CD，則BHCD是正方形， 則DH⊥BC ∴AD⊥BC。
（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC交AD于N，則∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角， 因為AB=AC=BC= ∴M是AC的中點，且MN∥CD 則BM=，MN=CD=，BN=AD=， 由余弦定理可求得cos∠BMN= ∴∠BMN=arccos。 （3）設E是所求的點，作EF⊥CH于F，連FD 則EF∥AH， ∴EF⊥面BCD，∠EDF就是ED與面BCD所成的角， 則∠EDF=30° 設EF=x，易得AH=HC=1，則CF=x，FD=， ∴tan∠EDF=== 解得x=，則CE=，x=1 故線段AC上存在E點，且CE=1時，ED與面BCD成30°角。