Question

如圖，在長方體中，，，點E在棱AB上移動，小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點，所爬的最短路程為。

（1）求證：；

（2）求AB的長度；

（3）在線段AB上是否存在點E，使得二面角的大小為？若存在，確定點E的位置；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：

解法一：

（1）連接，由長方體的性質可知：

AE⊥平面，

∴是在平面內的射影。

又∵，∴四邊形是正方形，∴，

∴（三垂線定理）。

（2）設，∵四邊形是正方形，

∴ 小螞蟻從點A沿長方體的表面爬到點可能有兩種途徑：

如圖a的最短路程為

如圖b的最短路程為

∵

∴

∴，∴

（3）假設存在點E，連接DE，設，過點D在

平面ABCD內作DH⊥EC，連接，則為二面角的平面角，

∴；

∴

在內，，而

即，解得。

即存在點E，且到點B的距離為時，二面角的大小為。

解法二：

（1）如圖c建立空間坐標系，設

則

∴

∴。

（2）同解法一。

（3）假設存在點E，平面DEC的法向量

設平面的法向量，則

，即

       解得，∴

       由題意得，

解得或（舍去）

即當點E離B為時，二面角的大小為。