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已知，． 記（其中都為常數，且）． 

（Ⅰ）若，，求的最大值及此時的值；

（Ⅱ）若，①證明：的最大值是；②證明：．

在數列中，，且成等差數列，成等比數列。

（1）求及，由此猜測的通項公式，并證明你的結論；

（2）證明：。

已知，函數（其中為自然對數的底數）．

  （Ⅰ）求函數在區間上的最小值；

  （Ⅱ）設數列的通項，是前項和，證明：．

【解析】本試題主要考查導數在研究函數中的運用，求解函數給定區間的最值問題，以及能結合數列的相關知識，表示數列的前n項和，同時能構造函數證明不等式的數學思想。是一道很有挑戰性的試題。