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(2)研究函數=+(常數>0)在定義域內的單調性.并說明理由, 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

規律是數學研究的重要內容之一.初中數學中研究的規律主要有一些特定的規則、符號(數)及其運算規律、圖形的數值特征和位置關系特征等方面.

請你解決以下與數的表示和運算相關的問題:

(1)寫出奇數a用整數n表示的式子;

(2)寫出有理數b用整數m和整數n表示的式子;

(3)函數的研究中,應關注yx變化而變化的數值規律(課本里研究函數圖象的特征實際上也是為了說明函數的數值規律).

下面對函數yx2的某種數值變化規律進行初步研究:

xi

0

1

2

3

4

5

yi

0

1

4

9

16

25

yi+1yi

1

3

5

7

9

11

由表看出,當x的取值從0開始每增加1個單位時,y的值依次增加1,3,5…

請回答:

x的 取值從0開始每增加個單位時,y的值變化規律是什么?

x的取值從0開始每增加個單位時,y的值變化規律是什么?

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(2012•達州)【問題背景】
若矩形的周長為1,則可求出該矩形面積的最大值.我們可以設矩形的一邊長為x,面積為s,則s與x的函數關系式為:s=-x2+
1
2
x(x
>0),利用函數的圖象或通過配方均可求得該函數的最大值.
【提出新問題】
若矩形的面積為1,則該矩形的周長有無最大值或最小值?若有,最大(小)值是多少?
【分析問題】
若設該矩形的一邊長為x,周長為y,則y與x的函數關系式為:y=2(x+
1
x
)
(x>0),問題就轉化為研究該函數的最大(小)值了.
【解決問題】
借鑒我們已有的研究函數的經驗,探索函數y=2(x+
1
x
)
(x>0)的最大(小)值.
(1)實踐操作:填寫下表,并用描點法畫出函數y=2(x+
1
x
)
(x>0)的圖象:
 x  
1
4
 
1
3
 
1
2
 1  2  3  4
 y              
(2)觀察猜想:觀察該函數的圖象,猜想當x=
1
1
時,函數y=2(x+
1
x
)
(x>0)有最
值(填“大”或“小”),是
4
4

(3)推理論證:問題背景中提到,通過配方可求二次函數s=-x2+
1
2
x(x
>0)的最大值,請你嘗試通過配方求函數y=2(x+
1
x
)
(x>0)的最大(小)值,以證明你的猜想.〔提示:當x>0時,x=(
x
)2

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某數學興趣小組的同學借鑒課本研究二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的經驗,繼續研究函數y=x4-2x2-1.
探索研究
(1)先探究函數y=x4-2x2-1的圖象與性質.
①填寫下表,畫出該函數的圖象:
x -2 -
3
2
-1 -
1
2
0
1
2
1
3
2
2
y
②觀察圖象,寫出該函數兩條不同類型的性質;
③在求二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值時,除了通過觀察圖象,還可以通過配方得到.請你通過配方求函數y=x4-2x2-1 的最大或最小值.
解決問題
(2)設平行于x軸的直線與y軸的交點坐標為(0,k),試討論函數y=x4-2x2-1的圖象與該平行于x軸的直線公共點的個數.(直接寫出答案)

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(2012•佛山)規律是數學研究的重要內容之一.
初中數學中研究的規律主要有一些特定的規則、符號(數)及其運算規律、圖形的數值特征和位置關系特征等方面.
請你解決以下與數的表示和運算相關的問題:
(1)寫出奇數a用整數n表示的式子;
(2)寫出有理數b用整數m和整數n表示的式子;
(3)函數的研究中,應關注y隨x變化而變化的數值規律(課本里研究函數圖象的特征實際上也是為了說明函數的數值規律).
下面對函數y=x2的某種數值變化規律進行初步研究:
xi 0 1 2 3 4 5
yi 0 1 4 9 16 25
yi+1-yi 1 3 5 7 9 11
由表看出,當x的取值從0開始每增加1個單位時,y的值依次增加1,3,5…
請回答:
①當x的取值從0開始每增加
1
2
個單位時,y的值變化規律是什么?
②當x的取值從0開始每增加
1
n
個單位時,y的值變化規律是什么?

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【問題情境】
已知矩形的面積為a(a為常數,a>0),當該矩形的長為多少時,它的周長最小?最小值是多少?
【數學模型】
設該矩形的長為x,周長為y,則y與x的函數關系式為y=2(x+
a
x
)(x>0).
【探索研究】
(1)我們可以借鑒以前研究函數的經驗,先探索函數y=x+
1
x
(x>0)的圖象和性質.精英家教網
①填寫下表,畫出函數的圖象;
x
1
4
1
3
1
2
1 2 3 4
y              
②觀察圖象,寫出該函數兩條不同類型的性質;
③在求二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值時,除了通過觀察圖象,還可以通過配方得到.請你通過配方求函數y=x+
1
x
(x>0)的最小值.

【解決問題】
(2)用上述方法解決“問題情境”中的問題,直接寫出答案.

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