Question

某數學興趣小組的同學借鑒課本研究二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的經驗，繼續研究函數y=x⁴-2x²-1．
探索研究
（1）先探究函數y=x⁴-2x²-1的圖象與性質．
①填寫下表，畫出該函數的圖象：

x	…	-2	- 3 2	-1	- 1 2	0	1 2	1	3 2	2	…
y	…										…

②觀察圖象，寫出該函數兩條不同類型的性質；
③在求二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函數y=x⁴-2x²-1 的最大或最小值．
解決問題
（2）設平行于x軸的直線與y軸的交點坐標為（0，k），試討論函數y=x⁴-2x²-1的圖象與該平行于x軸的直線公共點的個數．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：探索研究：
（1）①利用代入法，即可求出x與y的對應值，畫出圖象即可；
②利用二次函數的性質即可解答；
③利用配方法求出函數最值即可；
解決問題：
（2）分當k=-2或k＞-1時，當k=-1時，當-2＜k＜-1時．三種情況討論可得函數y=x⁴-2x²-1的圖象與該平行于x軸的直線公共點的個數．

解答：解：（1）①填表如下：

x	…	-2	- 3 2	-1	- 1 2	0	1 2	1	3 2	2	…
y	…	7	- 7 16	-2	- 23 16	-1	- 23 16	-2	- 7 16	7	…

畫圖如下：

②函數圖象關于y軸對稱；
函數圖象有兩個最低點；
當-1≤x≤0或x≥1時，y隨x的增大而增大；
當0≤x≤1或x≤-1時，y隨x的增大而減小；
函數圖象與x軸有兩個公共點．
③y=（x²-1）²-2，
當x²-1=0時，即x=±1時，函數y有最小值-2．

（2）當k=-2或k＞-1時，平行于x軸的直線與 函數y=x⁴-2x²-1的圖象有2個公共點；
當k=-1時，平行于x軸的直線與函數y=x⁴-2x²-1的圖象有3個公共點；
當-2＜k＜-1時，平行于x軸的直線與函數y=x⁴-2x²-1的圖象有4個公共點．

點評：此題主要考查了二次函數綜合題，涉及的知識點有函數圖象的畫法和函數的性質以及函數最值問題，利用數形結合得出是解題關鍵．