Question

【問題情境】
已知矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？
【數學模型】
設該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函數關系式為y=2（x+

a

x

）（x＞0）．
【探索研究】
（1）我們可以借鑒以前研究函數的經驗，先探索函數y=x+

1

x

（x＞0）的圖象和性質．
①填寫下表，畫出函數的圖象；

x	…	1 4	1 3	1 2	1	2	3	4	…
y	…								…

②觀察圖象，寫出該函數兩條不同類型的性質；
③在求二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函數y=x+

1

x

（x＞0）的最小值．

【解決問題】
（2）用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案．

Answer 1

分析：（1）①把x的值代入解析式計算即可；②根據圖象所反映的特點寫出即可；③根據完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²，進行配方即可得到最小值；
（2）根據完全平方公式（a+b）²=a²+2ab+b²，進行配方得到y=2[(

x

-

a x

)2+2

a

]，即可求出答案．

解答：解：（1）①故答案為：

17

4

，

10

3

，

5

2

，2，

5

2

，

10

3

，

17

4

．
函數y=x+

1

x

的圖象如圖：
②答：函數兩條不同類型的性質是：當0＜x＜1時，y 隨x的增大而減小，當x＞1時，y 隨x的增大而增大；當x=1時，函數y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．
③y=x+

1

x

=

x2+1

x

=

x2-2x+1

x

+2=

(x-1)2

x

+2，
∵x＞0，所以

(x-1)2

x

≥0，
所以當x=1時，

(x-1)2

x

的最小值為0，
∴函數y=x+

1

x

（x＞0）的最小值是2．

（2）答：矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為

a

時，它的周長最小，最小值是4

a

．

點評：本題主要考查對完全平方公式，反比例函數的性質，二次函數的最值，配方法的應用，一次函數的性質等知識點的理解和掌握，能熟練地運用學過的性質進行計算是解此題的關鍵．