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在數列中，，且前項的算術平均數等于第項的倍（）。
（1）寫出此數列的前5項；      （2）歸納猜想的通項公式，并加以證明。

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ABABD  DCAAD  AC

13. 2； 14.52； 15. ； 16 ，0    17. 或

18. 解：(Ⅰ) f’(x)＝3x²+2mx－m²=(x+m)(3x－m)=0,則x=－m或x=m,

    當x變化時，f’(x)與f(x)的變化情況如下表：

x

(－∞,－m)

－m

(－m,)

(,+∞)

f’(x)

+

0

－

0

+

f (x)

極大值

極小值

從而可知，當x=－m時，函數f(x)取得極大值9，

即f(－m)＝－m³+m³+m³+1=9,∴m＝2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x³+2x²－4x+1,

依題意知f’(x)＝3x²＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.

又f(－1)＝6，f(－)＝，

所以切線方程為y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，

即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.

19. 解：（1）由已知，，分別取，得，，，

；

所以數列的前5項是：，，，，；

（2）由（1）中的分析可以猜想．

下面用數學歸納法證明：

①當時，猜想顯然成立．

②假設當時猜想成立，即．

那么由已知，得，

即．所以，

即，又由歸納假設，得，

所以，即當時，公式也成立．

當①和②知，對一切，都有成立．

20. 解: (Ⅰ)改進工藝后，每件產品的銷售價為，月平均銷售量為件，則月平均利潤（元），

∴與的函數關系式為  .

(Ⅱ)由得，（舍）,

當時；時，

∴函數 在取得最大值.

故改進工藝后，產品的銷售價為元時，旅游部門銷售該紀念品的月平均利潤最大.

21. 解：（1）因為，  

       所以滿足條件

       又因為當時，，所以方程有實數根0.

       所以函數是集合M中的元素.

     （2）假設方程存在兩個實數根），

       則，

    不妨設，根據題意存在數

       使得等式成立

       因為，所以

       與已知矛盾，所以方程只有一個實數根.

22. 解：(Ⅰ)，.∴直線的斜率為，且與函數的圖象的切點坐標為.   ∴直線的方程為. 又∵直線與函數的圖象相切,

∴方程組有一解.  由上述方程消去，并整理得

         ①

依題意，方程①有兩個相等的實數根，

解之，得或       .

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 

 .  .

∴當時，，當時，.

∴當時，取最大值，其最大值為2.

(Ⅲ) .

，  ， .

由(Ⅱ)知當時，   ∴當時，，

.      ∴