Question

在數列中，，且前項的算術平均數等于第項的倍（）。
（1）寫出此數列的前5項；      （2）歸納猜想的通項公式，并加以證明。

Answer 1

（1）數列的前5項是：，．（2）見解析.

(1)本小題根據題意可得，分別令n=2,3,4,5不難求解。
(2)由(1)中的前5項，不難歸納出,然后再采用數學歸納法進行證明。
要分兩個步驟來進行：第一步驗證：當n=1時，式子成立；
第二步：先假設n=k時，等式成立，再證明n=k+1時，等式也成立，在證明過程中必須要用上歸納假設。
（1）由已知，，分別取，
得，，
，
，
所以數列的前5項是：，．-----------4分
（2）由（1）中的分析可以猜想．————————————6分
下面用數學歸納法證明：
①當時，公式顯然成立．
②假設當時成立，即，那么由已知，
得，
即，
所以，即，
又由歸納假設，得，
所以，即當時，公式也成立．—————————10分
由①和②知，對一切，都有成立．------------------12分