題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分13分）
已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在
軸上，左右焦點分別為
，且
=2點
在該橢圓上。
求橢圓C的方程；
過
的直線
與橢圓C相交于A，B兩點，若
的面積為
，求以
為圓心且與直線相切的圓的方程。
（本小題滿分13分）
已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在
軸上，離心率為
，且點
在該橢圓上.
（I）求橢圓C的方程；[來源:學科網ZXXK]
（II）過橢圓C的左焦點
的直線
與橢圓C相交于A，B兩點，若
的面積為
，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程.
（本小題滿分13分）
已知橢圓C的對稱軸為坐標軸，且短軸長為4，離心率為
。
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的焦點在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點，且
，求直線l的方程。
（本小題滿分13分）已知橢圓C的中心在坐標原點，離心率
，且其中一個焦點與拋物線
的焦點重合．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ)過點
的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過點T，若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．
（本小題滿分13分）
已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在
軸上，離心率為
，且點
在該橢圓上.
（I）求橢圓C的方程；[來源:ZXXK]
（II）過橢圓C的左焦點
的直線
與橢圓C相交于A，B兩點，若
的面積為
，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程.
武漢市教育科學研究院命制 2009.4.16
一、選擇題
1．B 2．C 3．D 4．A 5．B 6．C 7．A 8．A 9．B 10．D
二、填空題
11．7 12．（2，3） 13． 14． 15．
三、解答題
16．解：（1）由
由知：，于是可知
得.………………………………………………………（6分）
（2）由及
而在上單調遞增
可知滿足：時單調遞增
于是在定義域上的單調遞增區間為.………………（12分）
17．解：（1）摸球3次就停止，說明前三次分別都摸到了紅球，
則……………………………………………………………（5分）
（2）隨機變量的取值為0，1，2，3.
則，
，
.
隨機變量的分布列是
0
1
2
3
P
的數學期望為：
.………………………（12分）
18．解：（1）在四棱錐中，底面，則
若，則和面內相交的兩直線均垂直
面，故.
在底面的平行四邊形中，令
在中，.
于是
在中，由可知：
求得或
依題意，于是有.……………………………………………（6分）
（2）過點作，連結
.
又，面
面
由三垂線定理知：為所求二面角的平面角
過點
易知
又
在中
故所求二面角的大小為45.………………………………………………（12分）
19．解：（1）
故軌跡為以A、B為焦點的雙曲線的右支.
設其方程為：
.
故軌跡方程為.…………………………………………（6分）
（2）由
方程有兩個正根.
設，由條件知.
而
即
整理得，即
由（1）知，即顯然成立.
由（2）、（3）知
而.
.
故的取值范圍為……………………（13分）
20．解：（1）由，
求導數得到：
，故在有唯一的極值點
，且知
故上有兩個不等實根需滿足：
故所求m的取值范圍為.………………………………………（6分）
（2）又有兩個實根
則
兩式相減得到：
于是
，故
要證：，只需證：
只需證：
令，則
只需證明：在上恒成立.
又則
于是由可知.故知
上為增函數，則
從而可知，即（*）式成立，從而原不等式得證.……………
……………………………………………………………（13分）
21．解：（1）經過計算可知：
.
求得.…………………………………………（4分）
（2）由條件可知：.…………①
類似地有：.…………②
①-②有：.
即：.
因此：
即：故
所以：.…………………………………………（8分）
（3）假設存在正數，使得數列的每一項均為整數.
則由（2）可知：…………③
由，及可知.
當時，為整數，利用，結合③式，反復遞推，可知，，，，…均為整數.
當時，③變為………④
我們用數學歸納法證明為偶數，為整數
時，結論顯然成立，假設時結論成立，這時為偶數，為整數，故為偶數，為整數，所以時，命題成立.
故數列是整數列.
綜上所述，的取值集合是.………………………………………（13分）
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