Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在軸上，左右焦點分別為，且=2點在該橢圓上。

求橢圓C的方程；

過的直線與橢圓C相交于A，B兩點，若的面積為，求以為圓心且與直線相切的圓的方程。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）設橢圓的方程為，由題意可得：

橢圓C兩焦點坐標分別為，.                                                        .……………1分

.                           .……………3分

又 ，                                                    ……………4分

故橢圓的方程為.                                                     .……………5分

（Ⅱ）當直線軸，計算得到：，

，不符合題意.                             .……………6分

當直線與軸不垂直時，設直線的方程為：，

由，消去y得  ，   .……………7分

顯然成立，設，

則                                                        .……………8分[來源:Zxxk.Com]

又       

即 ，                        .……………9分

又圓的半徑                                                  .……………10分

所以

化簡，得，

即，解得                                      

所以，，                                                       .……………12分

故圓的方程為：.                                                        .……………13分

（Ⅱ）另解：設直線的方程為，

由，消去x得 ，恒成立，

設，則                 ……………8分

所以

                                                        .……………9分

又圓的半徑為，                                                 .……………10分

所以，解得，

所以，                                           ……………12分

故圓的方程為：.                                               .……………13分