Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓C的對稱軸為坐標軸，且短軸長為4，離心率為。

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設橢圓C的焦點在y軸上，斜率為1的直線l與C相交于A，B兩點，且

，求直線l的方程。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設橢圓C的長半軸長為a（a>0），短半軸長為b（b>0），

則2b=4，。            2分

解得a=4，b=2。                      3分

因為橢圓C的對稱軸為坐標軸，

所以橢圓C的方程為標準方程，且為。     5分

（Ⅱ）設直線l的方程為，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）,     6分

由方程組，消去y，

得，      7分

由題意，得， 8分

且，  9分

因為

， 11分

所以，解得m=±2,

驗證知△＞0成立，

所以直線l的方程為。      13分

考點：橢圓方程幾何性質及直線與橢圓相交弦長問題

點評：直線與橢圓相交問題常借助與韋達定理設而不求簡化計算，本題涉及到的弦長公式，其中k是直線斜率，是兩交點橫坐標