Question

（本小題滿分13分）

已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在軸上，離心率為，且點在該橢圓上.

   （I）求橢圓C的方程；[來源:ZXXK]

   （II）過橢圓C的左焦點的直線與橢圓C相交于A，B兩點，若的面積為，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程.

 

Answer 1

【答案】

解：（I）設橢圓C的方程為，由題意可得，

又 ………………2分

因為橢圓C經過，代入橢圓方程有

解得  ………………4分

所以故橢圓C的方程為  ………………5分

   （II）解法一：

    當直線l軸時，計算得到：

，不符合題意。   ………………6分

當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為：

由………………7分

顯然，

則    ………………8分

又

=       ………………9分

即

又圓O的半徑 ………………10分

所以

            ………………11分

化簡，得

解得（舍）      ………………12分

所以，故圓O的方程為： ………………13分

   （II）解法二：

設直線的方程為，

由 ………………7分

因為，

則     ………………8分

所以

       ………………9分

所以 

化簡得到，

解得（舍）       ………………11分

又圓O的半徑為 ………………12分

所以，故圓O的方程為：        ………………13分

【解析】略