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已知雙曲線的漸近線與拋物線C：y=x²+1相切于第一象限內的點P．
（I）求點P的坐標及雙曲線E的離心率；
（II）記過點P的漸近線為l₁，雙曲線的右焦點為F，過點F且垂直于l₁的直線l₂與雙曲線E交于A、B兩點．當△PAB的面積為時，求雙曲線E的方程．

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如圖，橢圓C: 的焦點為F₁（0，c）、F₂（0，一c）（c>0），拋物線的焦點與F₁重合，過F₂的直線l與拋物線P相切，切點在第一象限，且與橢圓C相交于A、B兩點，且

   （I）求證：切線l的斜率為定值；

   （Ⅱ）若拋物線P與直線l及y軸圍成的圖形面積為，求拋物線P的方程；

   （III）當時，求橢圓離心率e的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、選擇題：（每小題5分，共50分）

題號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

D

B

A

C

C

C

A

A

B

二、填空題：（每小題4分，共24分）

11．     12．4       13．      14．     15．4   16．

三、解答題：（共76分，以下各題為累計得分，其他解答請相應給分）

17．解：（I）

        由，得。

        又當時，得

       （Ⅱ）當

        即時函數遞增。

        故的單調增區間為，

18．解：（I）各取1個球的結果有（紅，紅₁）（紅，紅₂）（紅，白₁）（紅，白₂）（紅，黑）

（白，紅₂）（白，紅₂）（白，白₁）（白，白₂）（白，黑）（白，紅₁）（白，紅₂）

（白，白₁）（白，白₂）（白，黑）（黑₁，紅₁）（黑₁，紅₂）（黑₁，白₁）（黑₁，白₂）（黑₁，黑）（黑₂，紅₁）（黑₂，紅₂）（黑₂，白₁）（黑₂，白₂）（黑₂，黑）（黑₃，紅₁）

（黑₃，紅₂）（黑₃，白₁）（黑₃，白₂）（黑₃，黑）

等30種情況

其中恰有1白1黑有（白，黑）…（黑₃，白₂）8種情況，

故1白1黑的概率為

   （Ⅱ）2紅有2種，2白有4種，2黑有3種，

故兩球顏色相同的概率為

   （Ⅲ）1紅有1×3+2×5=13（種），2紅有2種，

故至少有1個紅球的概率為

19．解：（I）側視圖   （高4，底2）

   （Ⅱ）證明，由面ABC得AC，又由俯視圖知ABAC，，

面PAB

又AC面PAC，面PAC面PAB

   （Ⅲ）面ABC，為直線PC與底面ABC所成的角

在中，PA=4，AC=，，

20．解：（I）由題意設C的方程為由，得。

    設直線的方程為，由

    ②代入①化簡整理得  

    因直線與拋物線C相交于不同的兩點，

    故

    即，解得又時僅交一點，

   （Ⅱ）設，由由（I）知

21．解：（I）   由得

于是故

切線方程為，即

   （Ⅱ）令，解得

    ①當時，即時，在內，，于是在[1，4]內為增函數。從而

    ②當，即，在內，，于是在[1，4]內為減函數，從而

    ③當時，在內遞減，在內遞增，故在[1，4]上的最大值為與的較大者。

    由，得，故當時，

    當時，

22．解：（I）設的首項為，公差為d，于是由

        解得       

       （Ⅱ）

        由  ①

        得     ②

        ①―②得   即

        當時，，當時，

        于是

        設存在正整數，使對恒成立

        當時，，即

        當時，

        當時，當時，，當時，

        存在正整數或8，對于任意正整數都有成立。