Question

已知雙曲線的漸近線與拋物線C：y=x²+1相切于第一象限內的點P．
（I）求點P的坐標及雙曲線E的離心率；
（II）記過點P的漸近線為l₁，雙曲線的右焦點為F，過點F且垂直于l₁的直線l₂與雙曲線E交于A、B兩點．當△PAB的面積為時，求雙曲線E的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設切點P的坐標，根據雙曲線E的漸近線與拋物線C相切，及P在拋物線C：y=x²+1上，即可求點P的坐標及雙曲線E的離心率；
（II）利用點到直線的距離公式，求得△PAB的高，根據△PAB的面積為，求出a的值，即可求雙曲線E的方程．
解答：解：（I）設切點P的坐標為，則切線的斜率為…（1分）
因為雙曲線E的漸近線與拋物線C相切，所以①
又②
由①、②消去x得：，即b²=4a²，…（3分）
又c²=a²+b²，所以c²-a²=4a²，c²=5a²，
即．…（4分）
由①、②還可得，即x=±1，
又P在第一象限，從而切點P的坐標為（1，2）…%分
（II）由（I）得l₁的方程為y=2x，點F的坐標為，雙曲線E的方程為4x²-y²=4a²．
因為l₁⊥l₂，所以l₂的方程為．
由消去y得：．
從而．
故==．…（7分）
由點到直線的距離公式得△PAB的高．…（8分）
所以△PAB的面積．
當0＜a＜5時，，即，無實數解；
當a≥5時，，即，
解得或（舍去）…（11分）
故，
所以所求方程為．…（12分）
點評：本題考查導數知識的運用，考查雙曲線的幾何性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．