Question

 

如圖，橢圓C: 的焦點為F₁（0，c）、F₂（0，一c）（c>0），拋物線的焦點與F₁重合，過F₂的直線l與拋物線P相切，切點在第一象限，且與橢圓C相交于A、B兩點，且

   （I）求證：切線l的斜率為定值；

   （Ⅱ）若拋物線P與直線l及y軸圍成的圖形面積為，求拋物線P的方程；

   （III）當時，求橢圓離心率e的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）依題意拋物線

設直線l與拋物線P的切點為，又切點在第一象限，

則

所以切線l的斜率為定值。  ………………4分

   （文）解：設直線的斜率，則直線l的方程為：

由

令為定值。

   （II）由（I）可得：

以拋物線P的方程為：  ………………8分

   （III）由，

  由

設

又上單調遞增，

   （文）解：（I）同理（I）

   （II）拋物線P與直線l切于點E，由（1）可得，

又△OEF₂面積為1，

所以

所以拋物線P的方程為：  ………………8分

又

即  ………………10分

設

所以所求橢圓方程為  ………………13分