Question

如圖，在直角坐標系xOy中，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率e=，左右兩個焦分別為F₁、F₂．過右焦點F₂且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C的左頂點為A，下頂點為B，動點P滿足=m-4，（m∈R）試求點P的軌跡方程，使點B關于該軌跡的對稱點落在橢圓C上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓的定義和簡單性質，求出a 和b²的值，即得橢圓的標準方程．
（Ⅱ）設點P的坐標為（x，y），由 =m-4，求得 y=2x+m，求出點B關于P的軌跡的對稱點B′的坐標，并代入橢圓方程，解出 m值，即得點P的軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得|MF₂|=，由橢圓的定義得：|MF₁|+=2a．
∵|MF1|²=4c²+，∴=4c²+，又 e=得 ，
∴4a²-2a=3a²，∴a=2．
∴b²=a²-c²==1，∴所求橢圓C的方程為 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知點A（-2，0），點B為（0，-1），設點P的坐標為（x，y），
則=（-2-x，-y），=（2，-1），由 =m-4 得-4-2x+y=m-4，
∴點P的軌跡方程為 y=2x+m．
設點B關于P的軌跡的對稱點為B′（x，y），則由軸對稱的性質可得：=-，，
解得：x=，y=，∵B′（x，y） 在橢圓上，
∴+4=4，整理得 2m²-m-3=0解得 m=-1或 m=．
∴點P的軌跡方程為 y=2x-1或 y=2x+，經檢驗  y=2x-1和 y=2x+，都符合題設，
∴滿足條件的點P的軌跡方程為 y=2x-1，或 y=2x+．
點評：本題考查橢圓的定義、標準方程和簡單性質，求點的軌跡方程的方法，利用橢圓的對稱性求出m值是解題的關鍵．