Question

如圖，在直角坐標系中，已知射線OA：x-y=0（x≥0），OB：

3

x+3y=0（x≥0），過點P（a，0）（a＞0）作直線l分別交射線OA，OB于A，B兩點，且

AP

=2

PB

，則直線l的斜率為

 

．

Answer 1

分析：設出A，B的坐標，分別代入兩條直線方程，求出向量

AP

，

PB

的坐標，結合

AP

=2

PB

列式，最后把所有量都用x₂表示，代入兩點求斜率公式得答案．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁=x₁，y2=-

3

3

x2   ①．
又點P（a，0）（a＞0），
則

AP

=(a-x1，-y1)，

PB

=(x2-a，y2)，
由

AP

=2

PB

，得

a-x1=2x2-2a -y1=2y2

    ②．
聯立①②得：a=(

2 3

3

+2)x2．
∴直線l的斜率k=

y2-y1

x2-x1

=

3y2

x2+2x2-a

=

- 3 x2

3x2-( 2 3 3 +2)x2

=3(2+

3

)．
故答案為：3(2+

3

)．

點評：本題考查了平行向量與共線向量，考查了兩點求直線的斜率，體現了整體運算思想方法，考查了學生的計算能力，是中檔題．