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（2009•濰坊二模）已知函數f（x）=x（x-a）（x-b），其中a、b∈R
（I）當a=0，b=3時，求函數，f（x）的極值；
（Ⅱ）當a=0時，

f(x)

x2

-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求b的取值范圍
（Ⅲ）若0＜a＜b，點A（s，f（s）），B（t，f（t））分別是函數f（x）的兩個極值點，且0A⊥OB，其中0為原點，求a+b的取值范圍．

（2013•麗水一模）已知函數f(x)=

1

2

x(1+ae-2x+2)．
（Ⅰ）若a=1，記g（x）=f′（x），求證：當x＞

1

2

時，0≤g(x)＜

1

2

；
（Ⅱ）若x₁，x₂是函數f（x）的兩個極值點，且x₁＜1＜x₂，若f(xi)＜

4

3

（i=1，2），求實數a的取值范圍．（注：e是自然對數的底數．）

設x₁，x₂（x₁≠x₂）是函數f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點．
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若

.

x1

.

+

.

x2

.

=2

2

，求b的最大值；
（Ⅲ）設函數g（x）=f（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），當x₂=a時，求證：

.

g(x)

.

≤

1

12

a(3a+2)2．

（2013•未央區三模）設函數f（x）=x²+aln（x+1）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）當a=

3

8

時，判斷方程f（x）=-

1

4

的實數根的個數，并說明理由．

已知x＞0，函數f(x)=lnx-

ax

x+1

（1）當a≥0時，討論函數f（x）的單調性；
（2）當f（x）有兩個極值點（設為x₁和x₂）時，求證：f(x1)+f(x2)≥

x+1

x

•[f(x)-x+1]．