Question

（2009•濰坊二模）已知函數f（x）=x（x-a）（x-b），其中a、b∈R
（I）當a=0，b=3時，求函數，f（x）的極值；
（Ⅱ）當a=0時，

f(x)

x2

-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，求b的取值范圍
（Ⅲ）若0＜a＜b，點A（s，f（s）），B（t，f（t））分別是函數f（x）的兩個極值點，且0A⊥OB，其中0為原點，求a+b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導數，確定函數的單調性，即可求函數的極值；
（Ⅱ）當a=0時，

f(x)

x2

-lnx=x-b-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，即b≤x-lnx在[1，+∞）上恒成立，求出右邊的最小值，即可得到結論；
（Ⅲ）利用向量知識，確定(a-b)2=

9

ab

，進而可得(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab，利用基本不等式，即可得到結論．

解答：解：（I）當a=0，b=3時，f（x）=x³-3x²
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）
令f′（x）＞0，可得x＜0或x＞2，令f′（x）＜0，可得0＜x＜2
∴x=0時，函數取得極大值為0，x=2時，函數取得極小值為-4；
（Ⅱ）當a=0時，

f(x)

x2

-lnx=x-b-lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴b≤x-lnx在[1，+∞）上恒成立
令g（x）=x-lnx，則g′(x)=

x-1

x

∵x＞1，∴g′(x)=

x-1

x

＞0
∴g（x）在[1，+∞）上是增函數
∴g（x）_min=g（1）=1
∴b≤1；
（Ⅲ）由題意，

OA

•

OB

=0，∴st+f（s）f（t）=0
∴st+st（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=0①
∴f′（x）=3x²-2（a+b）x+ab
∵s，t是f′（x）=0的兩根
∴s+t=

2(a+b)

3

，st=

ab

3

＞0
∴①可化為（

1

3

a2-

ab

3

）（

1

3

b2-

ab

3

）=-1
∴ab（a-b）²=9
∴(a-b)2=

9

ab

∴(a-b)2=

9

ab

∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥12
當且僅當

9

ab

=4ab，即ab=

3

2

時取“=”
∴a+b的取值范圍是[2

3

，+∞）．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．