Question

（2013•未央?yún)^(qū)三模）設函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1）有兩個極值點x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=

3

8

時，判斷方程f（x）=-

1

4

的實數(shù)根的個數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）題目中條件：“在R上有兩個極值點”，即導函數(shù)有兩個零點．從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)f′（x）=0的實根的分布問題，利用二次函數(shù)的圖象令判別式大于0在-1處的函數(shù)值大于0即可．
（2）由a=

3

8

可知x₁=-

3

4

，x₂=-

1

4

，從而知函數(shù)f（x）在（-1，-

3

4

）上單調(diào)遞增，在（-

3

4

，-

1

4

）上單調(diào)遞減，在（-

1

4

，+∞）上單調(diào)遞增．下面分別討論函數(shù)f（x）在（-1，-

3

4

]和在（-

3

4

，-

1

4

）上實根的情況，即可證得方程f（x）=-

1

4

有且只有一個實數(shù)根．

解答：解：（1）由題意，1+x＞0
由f（x）=x²+aln（x+1）可得f′（x）=2x+

a

x+1

=

2x2+2x+a

x+1

．
∵f（x）=ax³+x恰有有兩個極值點，
∴方程f′（x）=0必有兩個不等根，
即2x²+2x+a=0的兩個均大于-1的不相等的實數(shù)根，其充要條件為

△=4-8a＞0 2-2+a＞0

，
解得0＜a＜

1

2

；

（2）由a=

3

8

可知x₁=-

3

4

，x₂=-

1

4

，從而知函數(shù)f（x）在（-1，-

3

4

）上單調(diào)遞增，在（-

3

4

，-

1

4

）上單調(diào)遞減，在（-

1

4

，+∞）上單調(diào)遞增．
①由f（x）在（-1，-

3

4

]上連續(xù)、單調(diào)遞增，且
f（-

3

4

）=（-

3

4

）²+

3

8

ln（-

3

4

+1）=

9

16

-

3

4

ln2＞-

1

4

，
以及f（-1+

1

e4

）=（-1+

1

e4

）²+

3

8

ln（

1

e4

）=-

1

2

-

2

e4

+

1

e8

＜-

1

4

，故方程f（x）=-

1

4

在（-1，-

3

4

]有且只有一個實根；
②由于f（x）在（-

3

4

，-

1

4

）上單調(diào)遞減，在（-

1

4

，+∞）上單調(diào)遞增，因此f（x）在（-

3

4

，+∞）上的最小值，
f（-

1

4

）=（-

1

4

）²+

3

8

ln（-

1

4

+1）=-

1

16

+

3

8

ln

3

4

＞-

1

4

，故方程f（x）=-

1

4

在（-

3

4

，+∞）沒有實數(shù)根．
綜上可知，方程f（x）=-

1

4

有且只有一個實數(shù)根．

點評：本題主要考查函數(shù)的導數(shù)、極值等基礎、根的存在性及根的個數(shù)判斷等基本知識，考查計算能力，屬于中檔題．