Question

設x₁，x₂（x₁≠x₂）是函數f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的兩個極值點．
（Ⅰ）若x₁=-1，x₂=2，求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若

.

x1

.

+

.

x2

.

=2

2

，求b的最大值；
（Ⅲ）設函數g（x）=f（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），當x₂=a時，求證：

.

g(x)

.

≤

1

12

a(3a+2)2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），知f′（x）=3ax²+2bx-a²，（a＞0），由

f′(-1)=3a-2b-a2=0 f′(2)=12a+4b-a2=0

，（a＞0），能求出函數f（x）的解析式．
（Ⅱ）由f′（x）=3ax²+2bx-a²，（a＞0），依題意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個根，且|x1|+|x2|=2

2

，所以(-

2b

3a

)2-2•(-

a

3

)+2|-

a

3

|=8，由此能求出b的最大值．
（Ⅲ）由x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩根，知f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），由x1•x2=-

a

3

，x₂=a，知x1=-

1

3

，故|g（x）|=|3a（x+

1

3

）[3（x-a）-1]，由此能夠證明|g（x）|≤

a

12

(3a+2)2．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），
∴f′（x）=3ax²+2bx-a²，（a＞0），
依題意有

f′(-1)=3a-2b-a2=0 f′(2)=12a+4b-a2=0

，（a＞0）
解得a=6，b=-9，
∴f（x）=6x³-9x²-36x．
（Ⅱ）∵f′（x）=3ax²+2bx-a²，（a＞0），
依題意，x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩個根，且|x1|+|x2|=2

2

，
∴(x1+x2)2-2x1x2+2|x1x2|=8，
∴(-

2b

3a

)2-2•(-

a

3

)+2|-

a

3

|=8，
∴b²=3a²（6-a），
∵b²≥0，∴0＜a≤6，
設p（a）=3a²（6-a），則p′（a）=-9a²+36a，
由p′（a）＞0，得0＜a＜4，
由p′（a）＜0，得a＞4，
即：函數p（a）在區(qū)間（0，4]上是增函數，在[4，6]上是減函數．
∴當a=4時，p（a）有極大值為96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是
∴b的最大值是4

6

．
（Ⅲ）證明：∵x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩根，
∴f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂），
∵x1•x2=-

a

3

，x₂=a，∴x1=-

1

3

，
∴|g（x）|=|3a（x+

1

3

）[3（x-a）-1]，
∵x₁＜x＜x₂，即-

1

3

＜x＜a，
∴|g(x)|=a(x+

1

3

)(-3x+3a+1)，
∴|g(x)|=-3a(x+

1

3

)(x-

3a+1

3

)=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a2+

1

3

a
≤

3a3

4

+a2+

1

3

a=

a(3a+2)2

12

，
∴|g（x）|≤

a

12

(3a+2)2成立．

點評：本題以函數為載體，考查學生會用待定系數法求函數解析式，考查利用導數研究函數的極值，解題的關鍵是正確理解極值的含義．