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華南師大附中2007―2008學年度高三綜合測試（二）
數學試題（理科）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
試題詳情
2．若θ是第二象限的角，則下列四個值中，恒小于零的是 （ ） A． B． C． D．cot
3．已知上是單調增函數，則a的最大值是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．在各項都為正數的等比數列{an}中，a1=3，前三項的和為21，則a3+ a4+ a5= （ ）
A．33 B．72 C．84 D．189
葉形圖（陰影部分），其面積是 （ ）
A．1 B．
C． D．
6．已知上有最大值3，那么此函數在[－2，2]上的最小值為 （ ）
A．－37 B．－29 C．－5 D．－11
7．若一系列函數的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數為“同族函數”，那么函數解析式為y=x2，值域為{1，4}的“同族函數”共有 （ ）
A．9個 B．8個 C．5個 D．4個
8．已知是定義在R上的奇函數，且為偶函數，對于函數有下列幾種描述
①是周期函數 ②是它的一條對稱軸
③是它圖象的一個對稱中心 ④當時，它一定取最大值
其中描述正確的是 （ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
9．已知等差數列{an}前17項和S17=51，則a7+ a11=
2,4,6
11．在4和67之間插入一個n項的等差數列后，仍是一個等差數列，且新等差數列的所有項之和等于781，則n的值為
12．已知函數的定義域，則函數的定義域是
13．在△ABC中，a，b，c分別為∠A、∠B、∠C、的對邊，若a，b，c成等差數列，，且△ABC的面積為，則b=
14．規定一種運算：，例如：12=1，32=2，則函數的值域為 .
三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（本小題滿分12分）
已知函數
（Ⅰ）求證：函數是偶函數；
（Ⅱ）判斷函數分別在區間上的單調性，并加以證明.
16．（本小題滿分12分）
已知函數的圖象經過點A（0，1）、B（）. 當時，的最大值為
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）由的圖象經過怎樣的變換可得到的圖象.
17．（本小題滿分14分）
在數列
（Ⅰ）證明數列是等比數列；
（Ⅱ）求數列{}的前n項和Sn.
18．（本小題滿分14分）
19．（本小題滿分14分）
已知b>－1，c>0，函數的圖象與函數的圖象相切.
（Ⅰ）設
（Ⅱ）是否存在常數c，使得函數內有極值點？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由.
20．（本小題滿分14分）
已知函數，若存在，則稱是函數的一個不動點，設
（Ⅰ）求函數的不動點；
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的二個不動點a、b（假設a>b），求使恒成立的常數k的值；
（Ⅲ）對由a1=1，an=定義的數列{an}，求其通項公式an.
一、選擇題
1．C 解析：關于y軸的對稱圖形，可得的
圖象，再向右平移一個單位，即可得的圖象，即的圖
2．A 解析：由題可知，故選A.
3．D 解析：上恒成立，即恒成立，故選D.
4．C 解析：令公比為q，由a1=3，前三項的和為21可得q2+q－6=0，各項都為正數，所以q=2，所以，故選C.
5．C 解析：由圖可知，陰影部分面積.
6．A 解析：故在[－2，2]上最大值為，所以最小值為，故選A.
7．A 解析：y值對應1，x可對應±1，y值對應4，x可對應±2，故定義域共有{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{1，2，－2}，{－1，2，－2}，{－，1，－2，2}共9種情況.
8．B 可采取特例法，例皆為滿足條件的函數，一一驗證可知選B.
二、填空題：
9．答案：6 解析：∵ ∴a7+a11=6.
10．答案a=3、2π 解析：的上半圓
面積，故為2π.
11．答案：20 解析：由數列相關知識可知
12．答案：
解析：由題可知 ，故定義域為
13．答案：2 解析：由a，b，c成等差數列知①，由②，
由c>b>a知角B為銳角，③，聯立①②③得b=2.
故當時，
三、解答題：
15．解：（Ⅰ）由題可知函數定義域關于原點對稱.
當，
則，
∴
當
綜上所述，對于，∴函數是偶函數.
（Ⅱ）當x>0時，，
設
∴函數上是減函數，函數上是增函數.
（另證：當；
∵
∴函數上是減函數，在上是增函數.
16．解：（Ⅰ）∵函數圖象過點A（0，1）、B（，1）
∴b=c
∵當
∴ ③
聯立②③得
（Ⅱ）①由圖象上所有點向左平移個單位得到的圖象
②由的圖象上所有點的縱坐標變為原來的倍，得到
的圖象
③由的圖象上所有點向下平移一個單位，得到
17．（1）證明：由題設，得
又a1－1=1，
所以數列{an－n}是首項為1，且公比為4的等比數列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是數列{ an }的通項公式為
所以數列{an}的前n項和
18．分析：求停車場面積，需建立長方形的面積函數. 這里自變量的選取十分關鍵，通常有代數和三角兩種設未知數的方法，如果設長方形PQCR的一邊長為x（不妨設PR=x），則另一邊長，
這樣SPQCR=PQ?PR=x?（100－），但該函數的最值不易求得，如果將∠BAP作為自變量，用它可表示PQ、PR，再建立面積函數，則問題就容易得多，于是可求解如下；
解：延長RP交AB于M，設∠PAB=，則
AM=90
設， ∵
∴當，SPQCR有最大值
答：長方形停車場PQCR面積的最大值為平方米.
19．解：（Ⅰ）【方法一】由，
依題設可知，△=（b+1）2－4c=0.
∵.
【方法二】依題設可知
∴為切點橫坐標，
于是，化簡得
同法一得
（Ⅱ）由
可得
令依題設欲使函數內有極值點，
則須滿足
亦即 ，
又
故存在常數，使得函數內有極值點.
（注：若，則應扣1分. ）
20．解：（Ⅰ）設函數
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知
可知使恒成立的常數k=8.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
可知數列為首項，8為公比的等比數列
即以為首項，8為公比的等比數列. 則
.
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B．
C．
D．cot
上是單調增函數，則a的最大值是 （ ）
D．
上有最大值3，那么此函數在[－2，2]上的最小值為 （ ）
是定義在R上的奇函數，且
為偶函數，對于函數
是它的一條對稱軸
是它圖象的一個對稱中心 ④當
時，它一定取最大值
的定義域
，則函數
的定義域是
，且△ABC的面積為
，則b=
，例如：1
2=1，3
的值域為
. 
上的單調性，并加以證明. 
的圖象經過點A（0，1）、B（
）. 當
時，
的圖象經過怎樣的變換可得到
是等比數列；
}的前n項和Sn.
的圖象與函數
的圖象相切. 
內有極值點？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由. 
，則
稱是函數
恒成立的常數k的值；
定義的數列{an}，求其通項公式an. 
關于y軸的對稱圖形，可得
的
的圖象，即
的圖
，故選A. 
上恒成立，即
恒成立，故選D. 
，故選C. 
. 
故在[－2，2]上最大值為
，所以最小值為
，故選A. 
皆為滿足條件的函數，一一驗證可知選B. 
∴a7+a11=6.
的上半圓
，故定義域為
①，由
②，
③，聯立①②③得b=2. 
時，
，
， 
，
，∴函數
是偶函數. 
，
上是減函數，函數
上是增函數. 
；
上是增函數. 
，1）
∴b=c
③
圖象上所有點向左平移
個單位得到
的圖象
倍，得到
的圖象
，得
，于是數列{ an }的通項公式為
，
），但該函數的最值不易求得，如果將∠BAP作為自變量，用它可表示PQ、PR，再建立面積函數，則問題就容易得多，于是可求解如下；
，則
， ∵
，SPQCR有最大值
平方米. 
，
. 
為切點橫坐標，
，化簡得
依題設欲使函數
內有極值點，
，
，使得函數
，則應扣1分. ）
恒成立的常數k=8. 
為首項，8為公比的等比數列
為首項，8為公比的等比數列. 則
.