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練習冊

練習冊
試題

北京市西城區2009年3月高三抽樣測試

數學理科 2009.3

本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）。滿分150分，考試時間120分鐘。

第I卷（選擇題，共40分）

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

2．若的（）

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

3．已知函數的反函數. 若的圖象過點（3，4），則a等于（） A． B． C． D．2

4．在正三棱錐P―ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，有下列三個論斷：

①； ②AC//平面PDE； ③.

其中正確論斷的個數為（）

A．0個 B．1個 C．2個 D．3個

5．若的值為（）

A．9 B．8 C．7 D．6

6．已知a，b是不共線的向量，R）那么A，B，C三點共線的充要條件為（）

A． B． C．=－1 D．=1

7．設雙曲線的半焦距為c，離心率為.若直線與雙曲線的一個交點的橫坐標恰為c，則k等于（）

A． B． C． D．

8．如圖，正五邊形ABCDE中，若把頂點A、B、C、D、E染上

紅、黃、綠、三種顏色中的一種，使得相鄰頂點所染顏色不

相同，則不同的染色方法共有（）

A．30種 B．27種 C．24種 D．21種

第Ⅱ卷（非選擇題，共110分）

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分. 把答案填在題中橫線上.）

9．設甲、乙、丙三個加工廠共生產玩具6000件，其中甲廠生產了1440件. 現采用分層抽樣的方法從三個加工廠抽取一個容量為500件的樣本進行質量檢測，則應從甲加工廠抽取

件玩具.

2,4,6

11．= .

12．設R，函數的最小值是－2，則實數k= .

13．已知正四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的底面ABCD邊長為1，高AA₁=，它的八個頂點都在同一球面上，那么球的半徑是；A，B兩點的球面距離為 .

14．按下列程序框圖運算：

規定：程序運行到“判斷結果是否大于244”為1次運算.

若x=5，則運算進行次才停止；若運算進行k N^*）次才停止，則x的取值范圍是 .

三、解答題（本大題共6小題，共80分. 解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

15．（本小題滿分12分）

已知為第二象限的角，為第三象限的角，.

（I）求的值.

（II）求的值.

2,4,6

設甲、乙兩套試驗方案在一次試驗中成功的概率均為p，且這兩套試驗方案中至少有一套試驗成功的概率為0.51. 假設這兩套試驗方案在試驗過程中，相互之間沒有影響.

（I）求p的值；

（II）設試驗成功的方案的個數為，求的分布列及數學期望E.

17．（本小題滿分14分）

如圖，正三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AA₁=AB=1.

（I）求證：A₁C//平面AB₁D；

（II）求二面角B―AB₁―D的大��；

（III）求點c到平面AB₁D的距離.

18．（本小題滿分14分）

設直線與橢圓相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點.

（I）證明：；

（II）若的面積取得最大值時的橢圓方程.

2,4,6

19．（本小題滿分14分）

設a>0，函數.

（I）若在區間上是增函數，求a的取值范圍；

（II）求在區間上的最大值.

20．（本小題滿分14分）

設是首項為1，公比為2的等比數列. 對于滿足的整數k,

數列確定. 記.

（I）當k=1時，求M的值；

（II）求M的最小值及相應的k的值.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.

2,4,6

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.

9．120 10．5 11． 12． 13．1（2分），（3分）

14．4（2分），（3分）

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15．（本小題滿分12分）

（I）解：因為α為第二象限的角，，

所以，，………………………………………2分

……………………………………………………… 4分

又，

所以， …………………………… 6分

（II）解：因為β為第三象限的角，，

所以， …………………………………………8分

又，………10分

所以， ………………12分

16．（本小題滿分12分）

（I）解：記這兩套試驗方案在一次試驗中均不成功的事件為A，則至少有一套試驗成功的事件為

由題意，這兩套試驗方案在一次試驗中不成功的概率均為1－p.

所以，，

從而，

令 ………………………………………6分

（II）解：ξ的可取值為0，1，2. ……………………………………………7分

……………………………………………………10分

所以ξ的分布列為

ξ

0

1

2

P

0.49

0.42

0.09

ξ的數學期望……12分

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解法一（I）證明：

連接A₁B，設A₁B∩AB₁= E，連接DE.

∵ABC―A₁B₁C₁是正三棱柱，且AA₁ = AB，

∴四邊形A₁ABB₁是正方形，

∴E是A₁B的中點，

又D是BC的中點，

∴DE∥A₁C. ………………………… 3分

∵DE平面AB₁D，A₁C平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D. ……………………4分

（II）解：在面ABC內作DF⊥AB于點F，在面A₁ABB₁內作FG⊥AB₁于點G，連接DG.

∵平面A₁ABB₁⊥平面ABC， ∴DF⊥平面A₁ABB₁，

∴FG是DG在平面A₁ABB₁上的射影， ∵FG⊥AB₁， ∴DG⊥AB₁

∴∠FGD是二面角B―AB₁―D的平面角 …………………………7分

設A₁A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

在△ABE中，，

在Rt△DFG中，，

所以，二面角B―AB₁―D的大小為 …………………………9分

（III）解：∵平面B₁BCC₁⊥平面ABC，且AD⊥BC，

∴AD⊥平面B₁BCC₁，又AD平面AB₁D，∴平面B₁BCC₁⊥平面AB₁D.

在平面B₁BCC₁內作CH⊥B₁D交B₁D的延長線于點H，

則CH的長度就是點C到平面AB₁D的距離. ……………………………12分

由△CDH∽△B₁DB，得

即點C到平面AB₁D的距離是 ……………………………………14分

建立空間直角坐標系D―xyz，如圖，

（I）證明：

連接A₁B，設A₁B∩AB₁ = E，連接DE.

設A₁A = AB = 1，

則

…………………………3分

，

……………………………………4分

（II）解：，，

設是平面AB₁D的法向量，則，

故；

同理，可求得平面AB₁B的法向量是 ……………………7分

設二面角B―AB₁―D的大小為θ，，

∴二面角B―AB₁―D的大小為 …………………………9分

（III）解由（II）得平面AB₁D的法向量為，

取其單位法向量

∴點C到平面AB₁D的距離 ……………………14分

18．（本小題滿分14分）

（I）解：依題意，直線l顯然不平行于坐標軸，故

將，得

① ………………………… 3分

由直線l與橢圓相交于兩個不同的點，得

，

即 …………………………………………………… 5分

（II）解：設由①，得

因為，代入上式，得 ……………8分

于是，△OAB的面積

………………11分

其中，上式取等號的條件是 ……………………12分

由

將這兩組值分別代入①，均可解出

所以，△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是 ………………14分

19．（本小題滿分14分）

（I）解：對函數 ……………………… 2分

要使上是增函數，只要上恒成立，

即上恒成立 ……………………………………4分

因為上單調遞減，所以上的最小值是，

注意到a > 0，所以a的取值范圍是 ……………………………………6分

（II）解：①當時，由（I）知，上是增函數，

此時上的最大值是 ……………………8分

②當，

解得 ……………………………………………………10分

因為，

所以上單調遞減，

此時上的最大值是………… 13分

綜上，當時，上的最大值是；

當時，上的最大值是 ……………14分

20．（本小題滿分14分）

（I）解：顯然 ……………………………………1分

當 ……………………………………3分

所以，

…………………………6分

（II）解：

………………………………………………9分

………………12分

當

所以，M的最小值為 ………………………………14分

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