Question

14．如圖所示，ab、cd為間距l的光滑傾斜金屬導軌，與水平面的夾角為θ，導軌電阻不計，ac間接有阻值為R的電阻，空間存在磁感應強度為B₀、方向豎直向上的勻強磁場，將一根阻值為r、長度為l、質量為m的金屬棒從軌道頂端由靜止釋放，金屬棒沿導軌向下運動的過程中始終與導軌接觸良好．已知當金屬棒向下滑行距離x到達MN處時已經達到穩定速度，重力加速度為g．求：
（1）金屬棒下滑到MN的過程中通過電阻R的電荷量；
（2）金屬棒的穩定速度的大小．

Answer 1

分析 （1）依據法拉第電磁感應定律，及閉合電路歐姆定律，再由電量表達式q=I△t，即可求解；
（2）根據切割感應電動勢公式，結合閉合電路歐姆定律，及安培力大小公式，最后結合平衡條件，即可求解．

解答 解：（1）金屬棒下滑到MN的過程中的平均感應電動勢為：E=$n\frac{△∅}{△t}$=$\frac{{B}_{0}lxcosθ}{△t}$
根據歐姆定律，電路中的平均電流為：I=$\frac{E}{R+r}$=$\frac{{B}_{0}lxcosθ}{（R+r）△t}$   
則q=I△t=$\frac{{B}_{0}lxcosθ}{R+r}$        
（2）穩定時導體棒切割運動產生的電動勢為：E=B₀lvcosθ①
電路中產生的電流為：I=$\frac{E}{R+r}$  ②
導體棒受的安培力為：F=B₀Il  ③
穩定時導體棒的加速度為零，mgsinθ-Fcosθ=0④
由①②③④解得，穩定時導體棒的速度：v=$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}co{s}^{2}θ}$
答：（1）金屬棒下滑到MN的過程中通過電阻R的電荷量$\frac{{B}_{0}lxcosθ}{R+r}$；
（2）金屬棒的穩定速度的大小$\frac{mg（R+r）sinθ}{{B}_{0}^{2}{l}^{2}co{s}^{2}θ}$．

點評 考查法拉第電磁感應定律與閉合歐姆定律的應用，知道感應電動勢的平均值與瞬時值的求解，掌握安培力與電量表達式的內容．