Question

如圖所示，細繩一端系著質量為M=1.0kg的物體，靜止在水平板上，另一端通過光滑小孔吊著質量m=0.3kg的物體，M的中點與圓孔距離為L=0.2m，并知M與水平面的最大靜摩擦力為2N，現使此平面繞中心軸線以角速度ω轉動，為使m處于靜止狀態，角速度ω應取何值？

Answer 1

分析：當此平面繞中心軸線以角速度ω轉動時，若M恰好要向里滑動時，ω取得最小值，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向外，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M所需要的向心力．若M恰好要向外滑動時，ω取得最大值，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向里，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M所需要的向心力．根據牛頓第二定律分別求出ω的最小值和最大值，即可得到ω的取值范圍．

解答：解：設此平面角速度ω的最小值為ω₁，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向外，則由牛頓第二定律得
   T-f_max=M

ω

2 1

L，
又T=mg
聯立得 mg-f_max=M

ω

2 1

L，
將m=0.3kg，f_max=2N，M=1kg，L=0.2m代入解得ω₁=

5

rad/s
設此平面角速度ω的最小值為ω₂，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向里，則由牛頓第二定律得
  T+f_max=M

ω

2 2

L，
又T=mg
代入解得ω₂=5rad/s
故為使m處于靜止狀態，角速度ω的何值范圍為：

5

rad/s≤ω≤5rad/s．
答：為使m處于靜止狀態，角速度ω的何值范圍為：

5

rad/s≤ω≤5rad/s

點評：本題是圓周運動中臨界問題，抓住當M恰好相對此平面滑動時靜摩擦力達到最大，由牛頓第二定律求解角速度的取值范圍．