Question

16．某顆地球同步衛星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽光照射的此衛星．試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落后12小時內有多長時間該觀察者看不見此衛星？（已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉周期為T，不考慮大氣對光的折射．）

Answer 1

分析 地球同步衛星繞地球做勻速圓周運動，受到的萬有引力提供向心力，其向心力用周期表示，結合“黃金代換”求出同步衛星的軌道半徑，再利用幾何關系確定太陽照不到同步衛星的范圍，那么，即可求出看不到衛星的時間

解答 解析   設所求時間為t，m、M分別為衛星、地球質量，r為衛星到地心的距離，有
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
春分時，太陽光直射地球赤道，如圖所示，圖中圓E為赤道，S表示衛星，A表示觀察者，O表示地心．由圖可看出，當衛星S轉到S′位置間，衛星恰好處于地球的陰影區，衛星無法反射太陽光，觀察者將看不見衛星．由圖有rsinθ=R   
t=$\frac{2θ}{2π}T$
對地面上質量為m′的物體有$G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g$
由以上各式可知t=$\frac{T}{π}arcsin（\frac{4{π}_{\;}^{2}R}{g{T}_{\;}^{2}}）^{\frac{1}{3}}$
答：春分那天（太陽光直射赤道）在日落后12小時內有$\frac{T}{π}arcsin（\frac{4{π}_{\;}^{2}R}{g{T}_{\;}^{2}}）^{\frac{1}{3}}$時間該觀察者看不見此衛星

點評 解決天體問題把握兩條思路：一是萬有引力提供向心力，二是重力等于萬有引力．針對本題關鍵還要分析好幾何關系來求解．