Question

2．如圖所示，半徑為R的四分之三光滑圓軌道豎直放置，CB是豎直直徑，A點與圓心等高，有小球b靜止在軌道底部，小球a自軌道上方某一高度處由靜止釋放自A點與軌道相切進入豎直圓軌道，a，b小球直徑相等、質量之比為3：1．兩小球在軌道底部發生彈性正碰，后小球b經過c點水平拋出落在離C點水平距離為2$\sqrt{2}$R的地面上，重力加速度為g，小球均可視為質點，求
（1）小球b碰后瞬間的速度；
（2）小球a碰后在軌道中能上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）小球b離開C點后做平拋運動，由高度和水平位移可求出小球b經過C點時的速度，由機械能守恒求小球b碰后瞬間的速度．
（2）根據彈性碰撞遵守的規律：動量守恒和機械能守恒，列式求出碰后a球的速度，再由機械能守恒求小球a碰后在軌道中能上升的最大高度．

解答 解：（1）小球b離開C點后做平拋運動，則有
   2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，2$\sqrt{2}$R=v_Ct
解得 v_C=$\sqrt{2gR}$
b球從B到C，由機械能守恒得：2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{b}^{2}$
解得小球b碰后瞬間的速度 v_b=$\sqrt{6gR}$
（2）設兩球碰撞前a球的速度為v₀．
取向左為正方向，對于兩球的碰撞過程，由動量守恒和機械能守恒得：
   m_av₀=m_av_a+m_bv_b；
  $\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{a}^{2}$+$\frac{1}{2}{m}_{b}{v}_{b}^{2}$
又 m_a=3m_b；
解得 v_a=$\frac{1}{3}$v_b=$\frac{\sqrt{6gR}}{3}$
設小球a碰后在軌道中能上升的最大高度為h，由機械能守恒得
  m_agh=$\frac{1}{2}{m}_{a}{v}_{a}^{2}$
解得  h=$\frac{1}{3}$R
答：
（1）小球b碰后瞬間的速度是$\sqrt{6gR}$；
（2）小球a碰后在軌道中能上升的最大高度是$\frac{1}{3}$R．

點評 解決本題的關鍵要掌握彈性碰撞所遵守的規律：系統的動量守恒和機械能守恒，再結合機械能守恒、動量守恒和平拋運動的規律解答．