Question

10．如圖所示，平行金屬板P、Q水平放置，兩板間距離為d，板間存在垂直于平行金屬板的勻強電場和垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為B₁，兩板間電勢差為U．現有質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，以某一速度沿垂直電場和磁場方向射入金屬板P、Q間，恰好沿直線通過平行金屬板．粒子離開金屬板勻速飛行一段距離后進入另一邊界為圓形的勻強磁場區域（未畫出），圓形區域內磁場的磁感應強度大小為B₂，方向垂直紙面向外，粒子在圓形區域內速度方向改變90°時離開圓形區域，不計粒子所受重力，整個裝置處在真空中．求：
（1）粒子速度大小；
（2）粒子在圓形區域內做勻速圓周運動的軌道半徑；
（3）圓形區域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）由題意粒子沿直線通過復合場區，由豎直方向受力平衡可以求得粒子速度的大小．
（2）由洛侖茲力提供向心力就能求出粒子做勻速圓周運動的軌道半徑．
（3）未知圓形區域的最小直徑是以軌跡圓對應的弦長為直徑，由此可以求出圓形區域的最小面積．

解答 解：（1）粒子在金屬板P、Q間做勻速直線運動
      $qv{B}_{1}=q\frac{U}p9vv5xb5$
    解得：v=$\frac{U}{{B}_{1}d}$
  （2）設粒子在圓形磁場區域中做圓周運動的半徑為R，由洛侖茲力提供向心力得：
  $qv{B}_{2}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
  解得：R=$\frac{mU}{qc{B}_{1}{B}_{2}}$
（3）粒子在圓形磁場區域運動中軌跡如圖，由幾何關系知：圓心角α=90°，由題意可知最小圓形磁
場區域是以$\frac{1}{4}$圓軌跡弦長為直徑的圓．設圓形有界磁場區為r，有$r=\frac{\sqrt{2}}{2}R$
則最小面積為：s=πr²=$\frac{π}{2}（\frac{mU}{qd{B}_{1}{B}_{2}}）^{2}$
答：（1）粒子速度大小為$\frac{U}{{B}_{1}d}$．
（2）粒子在圓形區域內做勻速圓周運動的軌道半徑$\frac{mU}{qc{B}_{1}{B}_{2}}$．
（3）圓形區域的最小面積為$\frac{π}{2}（\frac{mU}{qd{B}_{1}{B}_{2}}）^{2}$．

點評 本題的關鍵點在于第三問：最小的圓形磁場區域的面積，由于粒子在B₂磁場中偏轉90°，則偏轉軌跡對應的弦就是圓形磁場區域的最小直徑．