Question

某顆人造地球衛星在赤道平面上空繞地球做勻速圓周運動，當太陽光直射赤道時，該衛星持續被太陽光照亮時間與太陽光持續照射不到該衛星的時間之比為5：1．已知地球半徑為R，地球表面處的重加速度為g，不考慮大氣對光的折射．求：
（1）衛星離地面的高度h；
（2）衛星繞地心運動的周期T．

Answer 1

分析：（1）衛星繞地球做勻速圓周運動，利用幾何關系確定太陽照不到衛星的范圍，那么，即可求出衛星離地面的高度h
（2）衛星繞地球做勻速圓周運動，受到的萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律求解周期

解答：解：設地球同步衛星的軌道半徑為r，離地高度為h，則：
r=R+h①
該衛星持續被太陽光照亮時間與太陽光持續照射不到該衛星的時間之比為5：1，如圖可得：
∠AOB=60°
根據對稱性結合三角函數關系得：cos60°=

R

R+h

故h=R②
（2）地球表面出有一質量為m物體，由重力約等于萬有引力得；
mg=

GMm

R2

③
設衛星質量為m₁，由萬有引力提供向心力，有：

GMm1

r2

=m1r(

2π

T

)2④
聯立①②③④解得：T=4π

2R g

答：（1）衛星離地面的高度為R
（2）衛星繞地心運動的周期為4π

2R g

點評：決天體問題把握兩條思路：一是萬有引力提供向心力，二是重力等于萬有引力．針對本題關鍵還要分析好幾何關系來求解