Question

7．如圖所示是為了檢驗某種防護罩承受沖擊力的裝置，M是半徑為R=1.0m的固定于豎直平面內的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，軌道上端切線水平．N為待檢驗的固定曲面，該曲面在豎直面內的截面為拋物面，拋物面下端切線水平且恰好位于M軌道的圓心處，在如圖所示的直角坐標系中，拋物面的方程為y=$\frac{1}{2}$x²（x、y的單位均為m），M的下端相切處放置豎直向上的彈簧槍，每次總將彈簧長度壓縮到槍口下方距槍口d=0.5m處后發射質量不同的小鋼珠．小鋼珠的直徑略小于槍管的直徑，不計空氣阻力的影響，假設某次發射的質量為m=0.01kg的小鋼珠a沿軌道恰好能經過M的上端點，水平飛出后落到拋物面N的某一點上，取g=10m/s²．
（1）求發射該鋼珠前，彈簧的彈性勢能E_p；
（2）求小鋼珠a落到拋物面N上時的動能E_k（結果保留兩位有效數字）；
（3）若小鋼珠b的質量為m₁=0.005kg，問小鋼珠b能否到達M的上端點？若能，則求出此小鋼珠b在最高點時對M的壓力大小．

Answer 1

分析 （1）鋼珠沿軌道恰好能經過M的上端點時，由重力提供向心力，根據牛頓第二定律可求出鋼球經過軌道最高點時的速度．再根據能量守恒定律求解發射該鋼珠前，彈簧的彈性勢能E_p．
（2）鋼珠從最高點飛出后做平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，對水平和豎直兩個方向分別列方程，并結合兩個方向的位移關系：y=$\frac{1}{2}$x² ，求出豎直位移，再研究鋼球從M的最高點到打到N點的過程，運用機械能守恒求解小鋼珠a落到拋物面N上時的動能E_k．
（3）假設小鋼珠b能到達M的上端點，根據機械能守恒定律求出它到達M的上端點時的速度，與臨界速度比較，從而作出判斷．若能，根據牛頓定律求壓力．

解答 解：（1）設小鋼珠a在M軌道最高點時的速度為v，在最高點時有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得 v=$\sqrt{10}$m/s
從發射到最高點，由系統的機械能守恒得：E_p=mg（d+R）+$\frac{1}{2}$mv²
代人數據解得：E_p=0.4J
（2）鋼珠a從最高點飛出后做平拋運動，則有：
   x=vt
   h=$\frac{1}{2}$gt²
據題，由幾何關系有  R-h=$\frac{1}{2}$x²
聯立解得 h=0.5m
從M的最高點到打到N點的過程，由機械能守恒得：
  mgh+$\frac{1}{2}$mv²=E_k
代人數據解得：E_k=0.10J
（3）假設小鋼珠b能到達M的上端點，設b到達M的上端點速度為v_b．
根據機械能守恒定律得：
  E_p=m₁g（d+R）+$\frac{1}{2}$m₁v_b²
代人數據解得：v_b=2$\sqrt{10}$m/s＞v=$\sqrt{10}$m/s
所以小鋼珠b能到達M的上端點．
在M的上端點時，由牛頓第二定律有
  m₁g+N=m₁$\frac{{v}_{b}^{2}}{R}$
解得 N=0.15N
根據牛頓第三定律知，小鋼珠b在最高點時對M的壓力大小是0.15N．
答：
（1）發射該鋼珠前，彈簧的彈性勢能E_p是0.4J．
（2）小鋼珠a落到拋物面N上時的動能E_k是0.10J；
（3）若小鋼珠b的質量為m₁=0.005kg，小鋼珠b能到達M的上端點，小鋼珠b在最高點時對M的壓力大小是0.15N．

點評 根據重力恰好提供向心力求解出最高點速度是突破口，要抓住臨界條件：重力等于向心力，分析清楚能量的轉化情況，然后根據機械能守恒定律和平拋運動的分位移公式列式．