Question

2．如圖所示，質量為m的跨接桿ab可以無摩擦地沿水平的導軌滑行，兩軌間距為L，導軌與電阻R連接，放在豎直向下的勻強磁場中，磁感強度為B．桿從x軸原點O以大小為v₀的水平初速度向右滑行，直到靜止．已知桿在整個運動過程中速度v和位移x的函數關系是：v=v₀-B²L²$\frac{x}{mR}$．桿及導軌的電阻均不計．
（1）試求桿所受的安培力F隨其位移x變化的函數式．
（2）求出桿開始運動到停止運動過程中通過R的電量．
（3）求從開始到滑過的位移為全程一半時電路中產生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）桿在磁場中向右運動時，切割磁感線產生感應電流，受到向左的安培阻力作用，根據F=BIL，I=$\frac{BLv}{R}$，以及桿的速度v和位移x的函數關系式v=v₀-B²L²$\frac{x}{mR}$，聯立即可得到安培力F隨其位移x變化的函數式．
（2）根據動量定理和電量公式q=It求解電量q．
（3）先求出滑動到一半位移時的速度，桿在運動過程中，桿減少的動能完全轉化為電阻R的熱量，根據能量守恒求解電阻R產生的熱量Q．

解答 解：（1）桿在磁場中向右運動時，所受的安培力為：F=BIL，其中：I=$\frac{BLv}{R}$，
據題意，桿的速度v和位移x的函數關系為：v=v₀-B²L²$\frac{x}{mR}$，
所以有：F=$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R}$v=$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R}$（v₀-B²L²$\frac{x}{mR}$）
由上式可知，安培力F與位移x成線性關系．
（2）根據動量定理得：-B$\overline{I}$L△t=0-mv₀，
則有：q=I△t=$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{BL}$
（3）當v=0時，$x=\frac{mR{v}_{0}^{\;}}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$
當$x′=\frac{x}{2}$時，$v={v}_{0}^{\;}-{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}×\frac{1}{mR}×\frac{1}{2}×\frac{mR{v}_{0}^{\;}}{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}$=$\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}$
根據能量守恒：${Q}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}^{\;}}{2}）_{\;}^{2}=\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$
答：（1）桿所受的安培力F隨其位移x變化的函數式為F=$\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}}{R}$（v₀-B²L²$\frac{x}{mR}$）．
（2）桿開始運動到停止運動過程中通過R的電量q為=$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{BL}$．
（3）桿開始運動到停止運動過程中電阻R產生的熱量Q為$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$

點評 本題中電磁感應中力學問題，分析和計算安培力是解題的關鍵，運用能量守恒、歐姆定律、法拉第電磁感應定律及并聯、串聯的特點進行分析和求解．