Question

13．質量為的m=1Kg、長度足夠長的木板放在光滑的水平面上，右端到豎直檔板的距離L=0.08m．現有一質量也為m的滑塊以v₀=3m/s的水平速度從板的左端滑上木板，滑塊與木板間的摩擦系數為μ=0.1，滑塊與檔板始終未碰撞．木板與檔板碰后速度大小不變，方向相反．（碰撞時間極短，忽略不計）則木板碰撞3次后木板與滑塊已達到共同速度；木板與檔板共碰4次，滑塊在木板上發生相對的時間是3s，相對滑動距離是4.5m．

Answer 1

分析 當長木板反彈后，滑塊繼續勻減速前進，長木板向左勻減速運動，一直回到原來位置才靜止；之后長木板再次向右加速運動，滑塊還是勻減速運動；長木板運動具有重復性，由于木板長度可保證滑塊在運動過程中不與墻接觸，故直到兩者速度相同，一起與墻壁碰撞后反彈；之后長木板向左減速，滑塊向右減速，兩者速度一起減為零．通過分析兩者的速度關系，運用歸納法求解．

解答 解：滑塊滑上木板后，在摩擦力作用下，木板從靜止開始做勻加速運動．設木板加速度為a（因滑塊與木板的質量都為m，所以兩者的加速度大小相等），經歷時間T后與墻第一次碰撞．碰撞時的速度為v₁，則對長木板，由牛頓第二定律得：μmg=ma    …①
由位移公式有：L=$\frac{1}{2}$aT₂…②
又有：v₁=at…③
聯立①②③解得：a=1m/s²，T=0.4s，v₁=0.4m/s…④
在滑塊與木板兩者達到共同速度前，在每兩次碰撞之間，木板受到滑塊對它的摩擦力作用而做加速度恒定的勻減速直線運動，因而木板與墻相碰后將返回至初態，所用時間也為T．即為兩次碰撞之間的時間間隔為2T
第一次碰撞時，滑塊的速度為：v_物1=v₀-aT=3-1×0.4=2.6m/s
第二次碰撞時，滑塊的速度為：v_物2=v₀-3aT=3-3×1×0.4=1.8m/s
第三次碰撞時，滑塊的速度為：v_物3=v₀-5aT=3-5×1×0.4=1.0m/s
當木板完成第三次碰撞后運動到做最左端時，滑塊的速度為：v_物4=v₀-6aT=3-6×1×0.4=0.6m/s
因木板與滑塊的質量相同，選向右的方向為正，在此后向右運動至再次碰撞前的過程中，動量守恒，有：mv_物4=2mv_共，
代入數據解得：v_共=0.3m/s
此過程中，木板的位移為：x=$\frac{{v}_{共}^{2}}{2a}$=$\frac{0．{3}^{2}}{2×1}$=0.045m＜0.08m
所以木板碰撞 3次后木板與滑塊已達到共同速度；
滑塊與木板速度相同后繼續向右運動，會再次與擋板相碰，木板會以0.3m/s的速度向左運動，直至與滑塊同時速度為零，所以木板與檔板共碰4次．
由以上分析可知，滑塊一直向右做勻減速直線運動，直至與木板速度同時為零，所以滑塊在木板上發生相對的時間為：
t=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{3}{1}s$=3s
整個過程中，機械能的損失為摩擦生熱，有能量的轉化與守恒有：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=μmgl
代入數據解得：l=4.5m
故答案為：3，4，3，4.5．

點評 解答該題的關鍵是一定要理清木板及滑塊的運動過程，注意隱含條件的挖掘，即為“在滑塊與木板兩者達到共同速度前，在每兩次碰撞之間，木板受到滑塊對它的摩擦力作用而做加速度恒定的勻減速直線運動，因而木板與墻相碰后將返回至初態，所用時間也為T．”，這點是解題的一個關鍵．同時要注意數學歸納法的應用．
該題還可以求一下，木板最終會停在哪個位置．