Question

11．如圖甲所示，兩條相距l的光滑平行金屬導軌位于同一豎直面（紙面）內，其上端接一阻值為R的電阻；在兩導軌間 OO′下方區域內有垂直導軌平面向里的勻強磁場，磁感應強度為B．現使電阻為r、質量為m的金屬棒ab由靜止開始自 OO′位置釋放，向下運動距離d后速度不再變化．（棒ab與導軌始終保持良好的電接觸且下落過程中始終保持水平，導軌電阻不計）．

（1）求棒ab在向下運動距離d過程中回路產生的總焦耳熱；
（2）棒ab從靜止釋放經過時間t₀下降了$\fracp9vv5xb5{2}$，求此時刻的速度大小；
（3）如圖乙在OO′上方區域加一面積為s的垂直于紙面向里的均勻磁場B'，棒ab由靜止開始自 OO′上方一某一高度處釋放，自棒ab運動到OO′位置開始計時，B'隨時間t的變化關系B′=kt，式中k為已知常量；棒ab以速度v₀進入OO′下方磁場后立即施加一豎直外力使其保持勻速運動．求在t時刻穿過回路的總磁通量和電阻R的電功率．

Answer 1

分析 （1）金屬棒勻速運動時達到穩定，應用安培力公式與平衡條件求出ab棒勻速運動的速度，然后應用能量守恒定律求出回路產生的焦耳熱．
（2）應用法拉第電磁感應定律、歐姆定律與電流定義求出通過金屬棒的電荷量，然后應用動量定理求出金屬棒的速度．
（3）應用法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，然后應用電功率公式求出電功率．

解答 解：（1）金屬棒受到的安培力：F=BIl=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R+r}$，
金屬棒做勻速運動時速度達到穩定，由平衡條件得：$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R+r}$=mg，
由能量守恒定律得：mgd=Q+$\frac{1}{2}$mv²，解得：Q=mgd-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{l}^{4}}$；
（2）通過金屬棒橫截面的電荷量：
q=I△t=$\frac{E}{R+r}$△t=$\frac{\frac{△Φ}{△t}}{R+r}$△t=$\frac{△Φ}{R+r}$=$\frac{Bl×\fracp9vv5xb5{2}}{R+r}$=$\frac{Bld}{2（R+r）}$，
對金屬棒，由動量定理得：（mg-BIl）t₀=mv，整理得：mgt₀-Blq=mv，
解得：v=gt₀-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}d}{2m（R+r）}$；
（3）磁通量：Φ=Blv₀t+kts，
由法律的電磁感應定律得：E=$\frac{△Φ}{△t}$=Blv₀+ks，
電路電流：I=$\frac{E}{R+r}$，電功率：P=I²R，
解得：P=$\frac{（Bl{v}_{0}+ks）^{2}R}{（R+r）^{2}}$；
答：（1）棒ab在向下運動距離d過程中回路產生的總焦耳熱為：mgd-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{l}^{4}}$；
（2）棒ab從靜止釋放經過時間t₀下降了$\fracp9vv5xb5{2}$，此時刻的速度大小為：gt₀-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}d}{2m（R+r）}$；
（3）在t時刻穿過回路的總磁通量為：Blv₀t+kts，電阻R的電功率為$\frac{（Bl{v}_{0}+ks）^{2}R}{（R+r）^{2}}$．

點評 本題考查了求焦耳熱、金屬棒的速度、電功率問題，分析清楚金屬棒的運動過程、應用平衡條件、能量守恒定律、動量定理等知識即可解題；解（2）時注意動量定理的應用，要掌握其解題思路．