Question

6．如圖，一對表面粗糙的平行金屬軌道豎直固定在水平地面上，軌道與地面絕緣，軌道頂端連接有一定值電阻R，在A₁A₂、A₃A₄區域內有垂直于軌道平面向里的勻強磁場，一水平金屬桿CD通過兩金屬環套在軌道上，現使金屬桿CD以某一初速度豎直向上運動，穿過磁場區域后繼續上升到最高位置A₅A₆，然后落回到地面，此后不再運動，已知金屬桿CD與軌道間的摩擦力大小恒為其重力的$\frac{1}{3}$倍，金屬桿C向上運動經過A₁A₂和A₃A₄位置時，速度之比為2：1，A₃A₄與A₅A₆間的距離是A₁A₂與A₃A₄間的距離的n倍，金屬桿CD向下運動剛進入磁場區域就做勻速運動，重力加速度為g，金屬軌道與金屬桿CD的電阻都忽略不計．求：
（1）金屬桿CD向上，向下兩次經過A₃A₄位置時的速度之比；
（2）金屬桿CD向上運動經過A₁A₂剛進入磁場時的加速度大��；
（3）金屬桿CD向上、向下兩次經過磁場區域的過程中定值電阻R上產生的焦耳熱之比．

Answer 1

分析 （1）根據牛頓第二定律求出經過${A}_{3}^{\;}{A}_{4}^{\;}$向上的加速度，和下降時的加速度，由運動學公式求出金屬桿CD向上，向下兩次經過A₃A₄位置時的速度之比
（2）桿向上經過${A}_{1}^{\;}{A}_{2}^{\;}$時切割磁感線產生感應電動勢，受到向下的安培力，根據牛頓第二定律列式，向下進入磁場做勻速運動受力平衡，結合（1），即可求出金屬桿CD向上運動經過A₁A₂剛進入磁場時的加速度大小
（3）根據動能定理求出CD向上經過磁場區域過程中克服安培力做的功，下降過程勻速通過磁場，根據功的公式求出克服安培力做的功，兩種情況下克服安培力做功之比即為定值電阻R上產生的焦耳熱之比

解答 解：（1）設桿的質量為m，${A}_{3}^{\;}{A}_{4}^{\;}$與${A}_{5}^{\;}{A}_{6}^{\;}$間的距離為h，上升過程中的加速度大小為：
${a}_{1}^{\;}=\frac{mg+\frac{1}{3}mg}{m}=\frac{4}{3}g$
又$0-{v}_{1}^{2}=-2{a}_{1}^{\;}h$
則${v}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{8}{3}gh}$
下降過程中的加速度大小為${a}_{2}^{\;}=\frac{mg-\frac{1}{3}mg}{m}=\frac{2}{3}g$
又${v}_{2}^{2}-0=2{a}_{2}^{\;}h$
則${v}_{2}^{\;}=\sqrt{\frac{4}{3}gh}$
則：${v}_{1}^{\;}：{v}_{2}^{\;}=\sqrt{2}：1$
（2）設桿的長度為l，桿向上運動經過${A}_{1}^{\;}{A}_{2}^{\;}$時的速度為${v}_{0}^{\;}$，切割產生的電動勢
${E}_{1}^{\;}=Bl{v}_{0}^{\;}$
回路中的電流${I}_{1}^{\;}=\frac{{E}_{1}^{\;}}{R}=\frac{Bl{v}_{0}^{\;}}{R}$
桿受到的安培力大小為${F}_{1}^{\;}=B{I}_{1}^{\;}l=\frac{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{v}_{0}^{\;}}{R}$，方向豎直向下
桿向上運動經過${A}_{1}^{\;}{A}_{2}^{\;}$剛進入磁場時，由牛頓第二定律：$mg+\frac{1}{3}mg+{F}_{1}^{\;}=ma$
得$a=\frac{4}{3}g+\frac{{F}_{1}^{\;}}{m}$
由題意，桿下落進入磁場做勻速運動的速度為${v}_{2}^{\;}$，
切割產生的電動勢${E}_{2}^{\;}=Bl{v}_{2}^{\;}$
此時回路中的電流${I}_{2}^{\;}=\frac{{E}_{2}^{\;}}{R}=\frac{Bl{v}_{2}^{\;}}{R}$
桿受到的安培力大小為${F}_{2}^{\;}=B{I}_{2}^{\;}l=\frac{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{v}_{2}^{\;}}{R}$
這一過程中桿受力平衡，即${F}_{2}^{\;}+\frac{1}{3}mg=mg$
可得${F}_{2}^{\;}=\frac{{B}_{\;}^{2}{l}_{\;}^{2}{v}_{2}^{\;}}{R}=\frac{2}{3}mg$
由（1）問${v}_{1}^{\;}：{v}_{2}^{\;}=\sqrt{2}：1$，又${v}_{0}^{\;}=2{v}_{1}^{\;}$，可得${v}_{0}^{\;}=2\sqrt{2}{v}_{2}^{\;}$
代入可得$a=\frac{4+4\sqrt{2}}{3}g$
（3）設${A}_{1}^{\;}{A}_{2}^{\;}$與${A}_{3}^{\;}{A}_{4}^{\;}$間的距離為d，桿向上穿過磁場的過程中，由動能定理
$-mgd-\frac{1}{3}mgd+{W}_{安1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
桿過${A}_{3}^{\;}{A}_{4}^{\;}$后繼續上升了nd，這一過程由動能定理
$-mgnd-\frac{1}{3}mgnd=0-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
則：${W}_{安1}^{\;}=-\frac{（12n-4）}{3}mgd$
桿下落過程中${W}_{安2}^{\;}=-{F}_{2}^{\;}d=-\frac{2}{3}mgd$
由功能關系有${Q}_{1}^{\;}：{Q}_{2}^{\;}=|{W}_{安1}^{\;}|：|{W}_{安2}^{\;}|$
即：${Q}_{1}^{\;}：{Q}_{2}^{\;}=6n-2$
答：（1）金屬桿CD向上，向下兩次經過A₃A₄位置時的速度之比$\sqrt{2}：1$；
（2）金屬桿CD向上運動經過A₁A₂剛進入磁場時的加速度大小$\frac{4+4\sqrt{2}}{3}g$；
（3）金屬桿CD向上、向下兩次經過磁場區域的過程中定值電阻R上產生的焦耳熱之比（6n-2）

點評 本題是電磁感應與力學和能量等知識的綜合應用，根據牛頓第二定律求加速度，以及結合運動學能夠分析出金屬棒的運動情況．考查分析和處理綜合題的能力．