Question

14．如圖，真空室內存在勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度的大小B=0.60T，磁場內有一塊平面感光板ab，板面與磁場方向平行，在距ab的距離l=16cm處，有一個點狀的α放射源S，它向各個方向發射α粒子，α粒子的速度都是v=3.0×10⁶m/s，已知α粒子的電荷與質量之比$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷C/kg，現只考慮在圖紙平面中運動的α粒子，求：
（1）ab上α粒子打中的區域的長度；
（2）若將放射源移到距ab的距離為10cm處，則同一時刻發射出的帶電粒子打到板上的最大時間差．

Answer 1

分析 （1）α粒子在磁場中做勻速圓周運動，由洛侖茲力充當向心力可求得粒子的半徑，則結合幾何關系可求得ab上被打中的區域的長度；
（2）運動時間與軌跡的圓心角成正比，畫出臨界軌跡，結合公式t=$\frac{θ}{2π}T$列式求解即可．

解答 解：（1）α粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…①
代入數據解得：r=0.1m=10cm，
α粒子在磁場中做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{2π}{5×1{0}^{7}×0.6}$=$\frac{2π}{3}$×10^-7s；
由于2r＞l＞r，因朝不同方向發射的α粒子的圓軌跡都過S，由此可知，某一圓軌跡在圖中N左側與ab相切，則此切點P就是α粒子能打中的左側最遠點；定出P點的位置，可作平行于ab的直線cd，cd到ab的距離為r，以S為圓心，r為半徑，作弧交cd于Q點，過Q作ab的垂線，它與ab的交點即為P，故：
NP₁=$\sqrt{{r}^{2}-（l-r）^{2}}$…②
再考慮N的右側．任何α粒子在運動中離S的距離不可能超過2R，以2R為半徑、S為圓心作圓，交ab于N右側的P₂點，此即右側能打到的最遠點．
由圖中幾何關系得：NP₂=$\sqrt{（2r）^{2}-{l}^{2}}$…③
所求長度為：P₁P₂=NP₁+NP₂…④
代入數值得P₁P₂=20cm，ab上被α粒子打中的區域的長度 P₁P₂=20cm．
（2）若將放射源移到距ab的距離為10cm處，粒子的軌道半徑和周期不變；作出臨界軌跡，如圖所示：
故最長時間為：t_max=$\frac{3}{4}T$
最短時間為：t_min=$\frac{1}{4}T$
故粒子打到板上的最大時間差為：
$△t={t}_{max}-{t}_{min}=\frac{T}{2}$=$\frac{π}{3}$×10^-7s；
答：（1）ab上α粒子打中的區域的長度為20cm；
（2）若將放射源移到距ab的距離為10cm處，則同一時刻發射出的帶電粒子打到板上的最大時間差為$\frac{π}{3}$×10^-7s．

點評 帶電粒子在磁場中的運動解題的關鍵在于確定圓心和半徑，畫出臨界軌跡，然后再由幾何關系即可求得要求的問題，本題關鍵是畫出臨界軌跡，不難．