Question

17．如圖所示，10m長的傳送帶動摩擦因數為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，傾角為30^o，用電動機帶動，其運行速度大小為2m/s，運行方向為順時針，現將質量為40kg的麻包輕放在傳送帶的下端．（重力加速度取10m/s²）試求：
（1）將麻包運送到傳送帶的頂端所需時間．
（2）傳送帶每傳送一個麻包，電動機應多做多少功？

Answer 1

分析 （1）麻包從底端運送到B點可能需要經過勻加速和勻速兩個過程，先根據牛頓第二定律求出加速度，然后根據運動學公式求出達到傳送帶速度的時間以及位移，最后求出勻速運動到平臺的時間即可．
（2）電動機多做的功等于麻包增加的機械能與系統產生的熱量之和．

解答 解：A、麻包開始受到向上的滑動摩擦力作用，做勻加速運動，根據牛頓第二定律得：
  a=$\frac{μmgcos30°-mgsin30°}{m}$=g（μcos30°-sin30°）=10×（$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$）m/s²=2.5m/s²．
物體做勻加速運動的時間為：t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{2}{2.5}$s=0.8s
位移為 x=$\frac{v}{2}{t}_{1}$=$\frac{2}{2}$×0.8m=0.8m＜10m
所以共速后麻包做勻速運動，所用時間 t₂=$\frac{L-x}{v}$=$\frac{10-0.8}{2}$=4.6s
故將麻包運送到傳送帶的頂端所需時間 t=t₁+t₂=5.4 s
（2）傳送帶與麻包的相對位移大小△x=vt₁-x=2×0.8-0.8m=0.8m
傳送帶每傳送一個麻包，電動機應多做的功 W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+mgLsin30°+μmgcos30°•△x=$\frac{1}{2}$×40×2²+40×10×10×0.5+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×40×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×0.8=3040J．
答：
（1）將麻包運送到傳送帶的頂端所需時間是5.4s．
（2）傳送帶每傳送一個麻包，電動機應多做功是3040J．

點評 求解有關傳送帶問題的思路是：先根據牛頓第二定律求出物體達到傳送帶速度的時間和位移，然后再分析此后物體的運動情況，從而求出總時間．要注意摩擦產生的熱量要根據相對位移求．