Question

20．在公交車行駛中，司機能從車旁邊的后視鏡內看清離車頭L=20米范圍內的物體，若該客車由靜止開始以a=1.0m/s²的加速度做勻加速直線運動，與此同時，在距車頭S=32米遠的地方有一乘客正以v勻速追趕該客車．乘客在后視鏡內的像保留時間不少于2.0s時，司機才能從后視鏡內看清該乘客，并迅速制動，停車讓乘客上車．則
（1）該乘客追趕客車的最小速度應為多少？
（2）若以第（1）問中的速度追趕客車，追趕客車的過程中經過多長時間乘客距離客車最近？最近距離是多少？

Answer 1

分析 （1）設乘客經過t時間與客車車頭的位移為s₀，通過位移關系求出運動的時間，時間有兩個值，在這兩個時間之間，乘客與客車車頭的位移小于s₀，則兩個時間之差要保證大于等于t₀，根據該關系求出乘客速度的最小值．
（2）

解答 解：（1）從客車由靜止開始運動計時，經過時間t，客車前進的位移為：${s}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
乘客前進的位移為：s₂=vt
由題意有：s₁+s-s₂=s₀
△t=t₂-t₁≥t₀
得：$\frac{1}{2}a{t}^{2}+s-vt-{s}_{0}$=0，
即t=$\frac{v±\sqrt{{v}^{2}-2a（s-{s}_{0}）}}{a}$，
所以有：△t=t₂-t₁=$\frac{v+\sqrt{{v}^{2}-2a（s-{s}_{0}）}}{a}-\frac{v-\sqrt{{v}^{2}-2a（s-{s}_{0}）}}{a}$=$\frac{2\sqrt{{v}^{2}-2a（s-{s}_{0}）}}{a}$≥t₀，
得v$≥\sqrt{2a（s-{s}_{0}）+\frac{（a{t}_{0}）^{2}}{4}}$
代入數據求得：v≥5m/s．
（2）在司機恰好能停車的情況下，追趕客車的過程中開始時人的速度大于車的速度，然后車的速度大于人的速度，所以當車與人的速度相等時，人與車之間的距離最小．則：v=at
所以：t=$\frac{v}{a}=\frac{5}{1}s=5$s
該過程中人的位移：x₁=vt=5×5=25m
車的位移：${x}_{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×1×{5}^{2}=12.5$m
人與車之間的距離：L′=S+x₂-x₁=32+12.5-25=19.5m
答：（1）該乘客追趕公交車的最小速度應為5m/s；
（2）經過5s時間乘客距離客車最近，最近距離是19.5m．

點評 該題屬于運動學中的較難題，關鍵抓住乘客經過時間t與客車車頭的位移為s₀，還要注意乘客與客車車頭位移在s₀之內的時間差大于等于t₀．