Question

5．如圖，天花板上相距120cm的A、B兩點分別懸掛著兩根輕質彈簧，兩彈簧的另一端在O點相連．現在O點懸掛一質量為m=5kg的重物，待穩定后量得兩彈簧長度均為65cm；將重物換為質量為M=16kg的另一重物，穩定后經測量知彈簧OA與彈簧OB垂直，且彈簧OA與水平面夾角為53°（sin53°=0.8）．試求兩根彈簧的勁度系數．（g=10N/kg）

Answer 1

分析 在兩個圖中分別對O點受力分析，受兩個彈簧的拉力和向下的拉力，根據平衡條件列式分別求解兩幅圖中的兩個拉力；最后結合胡克定律列式求解勁度系數．

解答 解：掛重物m時，由幾何關系可知，彈簧OA、OB與水平方向夾角α相等，且sinα=$\frac{5}{13}$，cosα=$\frac{12}{13}$，
此時兩彈簧長度l_A1=l_B1=65cm             

對結點O做受力分析如圖，其平衡條件為：
F_A1cosα=F_B1cosα
F_A1sinα+F_B1sinα=T₁
根據m平衡，此時掛線張力：T₁=mg
代入數據得：F_A1=65N，F_B1=65N；
掛上重物M時，設OA與水平方向夾角為β，由幾何關系可知，此時兩彈簧長度為

l_A2=l_ABcosβ=72cm
l_B2=l_ABsinβ=96cm
對結點O做受力分析如圖，其平衡條件為：
F_A2=T₂sinβ
F_B2=T₂cosβ
根據M平衡，此時掛線張力：T₂=Mg，
代入數據得：
F_A2=128N                    
F_B2=96N
設A彈簧原長為l_A，由胡克定律F=kx 可知
F_A1=k_A（l_A1-l_A）
F_A2=k_A（l_A2-l_A）
將上述兩式相減得：
F_A2-F_A1=k_A（l_A2-l_A1）
代入數據可得：k_A=900N/m         
同理可得：k_B=100N/m     
答：彈簧A的勁度系數為900N/m，彈簧B的勁度系數為100N/m．

點評 本題是力平衡問題，關鍵是明確O點的受力情況，根據平衡條件列式求解彈簧的拉力，根據胡克定律求解勁度系數．
利用正交分解方法解體的一般步驟：
①明確研究對象；
②進行受力分析；
③建立直角坐標系，建立坐標系的原則是讓盡可能多的力落在坐標軸上，將不在坐標軸上的力正交分解；
④x方向，y方向分別列平衡方程求解．