Question

14．騰訊太空2016年4月5日訊，據英國每日郵報報道，天文學家目前最新發現一顆奇特的三星系統熱木星，三星系統有兩種方式構成，一種方式是質量相等的三顆星構成一個邊長為a的等邊三角形，每顆星圍繞等邊三角形的中心做勻速圓周運動，其運動周期為T₁；另一種方式質量相等的三顆星等間距分布在一條直線上，若相鄰兩顆星的距離為a，而中間的星剛好不動，運動周期為T₂，則T₁：T₂為（　　）

• A． 5：2
• B． 5：3
• C． $\sqrt{5}$：2$\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{5}$：$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先寫出任意兩個星星之間的萬有引力，求每一顆星星受到的合力，該合力提供它們的向心力．然后用R表達出它們的軌道半徑，最后寫出用周期和線速度表達的向心力的公式，整理即可的出結果．

解答 解：對第一種的情況，由幾何關系知：它們的軌道半徑r=$\frac{\sqrt{3}}{3}a$．
任意兩個星星之間的萬有引力F=$\frac{Gmm}{{a}^{2}}$，
每一顆星星受到的合力，F₁=$\sqrt{3}F$
合力提供它們的向心力：$\frac{\sqrt{3}Gmm}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}_{1}^{2}}$
解得T₁=$2πa\sqrt{\frac{a}{3Gm}}$；
對第二種情況，相鄰的兩顆星星之間的萬有引力：F=$\frac{Gmm}{{a}^{2}}$
較遠的兩顆星之間的萬有引力：$F′=\frac{Gmm}{（2a）^{2}}$
兩側的星星受到的合力：${F}_{2}=F+F′=\frac{5Gmm}{{4a}^{2}}$
合力提供它們的向心力：$\frac{5Gmm}{4{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}a}{{T}_{2}^{2}}$
解得T₂=$4πa\sqrt{\frac{a}{5Gm}}$
所以：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$故ABD錯誤，C正確
故選：C

點評 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，才能正確解答題目．