Question

8．如圖所示，一條長為L的細線，上端固定，下端栓一個質量為m的帶電小球，將它置于一個勻強電場中，場強大小為E，水平向右，已知當細線離開豎直位置的偏角為α時，小球處于平衡狀態．
（1）小球帶何種電荷？電荷量是多少？
（2）如果使細線的偏角由α增大φ，然后由靜止釋放，則φ應為多大，才能使細線達到豎直位置時，小球的速度剛好為零？
（3）如果將小球向左方拉成水平，此時線被拉直，那么放手后小球將做怎樣的運動？小球開始運動后經多次時間又被拉直？

Answer 1

分析 （1）對小球受力分析，根據共點力平衡得出小球的電性以及小球所帶的電荷量．
（2）根據動能定理，結合數學三角函數的關系求出小球速度剛好為零時φ的大小．
（3）果將小球向左方拉成水平，此時線被拉直，放手后，小球將沿合力方向做初速度為零的勻加速直線運動，根據牛頓第二定律求出加速度，結合位移時間公式求出運動的時間．

解答 解：（1）分析小球受力如圖所示，由力的平衡知小球帶正電，且滿足：Tsinα=qE，Tcosα=mg，
解得：q=$\frac{mgtanα}{E}$．
（2）小球從細線偏角φ的位置運動到豎直位置時，拉力T不做功，重力做正功，電場力做負功，由動能定理得：
mgL（1-cosφ）-qELsinφ=0
即：$\frac{1-cosφ}{sinφ}=\frac{qE}{mg}=\frac{E•\frac{mgtanα}{E}}{mg}=tanα$，
再由二倍角公式cos2θ=1-2sin²θ代入可得：
$tan\frac{φ}{2}=tanα$，
即：φ=2α．
（3）小球受力分析如圖所示．由于小球所受重力、電場力均為恒力且由靜止釋放，故小球將沿合力方向做初速度為零的勻加速直線運動，當線被拉直時，小球運動的位移為：
s=2Lsinθ
小球的加速度為：$a=\frac{{F}_{合}}{m}=\frac{\frac{mg}{cosθ}}{m}=\frac{g}{cosθ}$，
由s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2s}{a}}=\sqrt{\frac{2×2Lsinθ}{\frac{g}{cosθ}}}=\sqrt{\frac{2Lsin2θ}{g}}$．
答：（1）小球帶正電，電荷量為$\frac{mgtanα}{E}$．
（2）φ應為2α，才能使細線達到豎直位置時，小球的速度剛好為零．
（3）小球將沿合力方向做初速度為零的勻加速直線運動，小球經過$\sqrt{\frac{2Lsin2θ}{g}}$又被拉直．

點評 本題考查了共點力平衡、牛頓第二定律、動能定理和運動學公式的綜合運用，對數學幾何關系要求較高，注意第三問不能誤認為小球做圓周運動，抓住小球的受力以及初速度分析小球的運動規律．